延期支票不付款，持票人可依法追究出票人或相关责任人的法律责任，具体后果及处理方式如下：

1. 民事责任层面
   根据《票据法》第89条，支票到期被拒绝付款的，持票人有权向出票人（即开具支票的单位或个人）追索票面金额及逾期利息。若出票人账户余额不足，持票人可向法院提起民事诉讼，要求强制执行其名下财产（如房产、车辆、存款等）。若支票存在背书转让，持票人还可向所有前手（即曾持有该支票的转让方）追索，形成连带责任。

2. 行政处罚层面
   若出票人因账户余额不足导致支票无法兑付，可能被银行列入“支票违规行为黑名单”，影响其未来支票开具权限。根据《票据管理实施办法》第31条，银行可对出票人处以票面金额5%但不低于1000元的罚款；若出票人多次违规，还可能面临更高额罚款或暂停支票业务等行政处罚。

3. 刑事责任风险（极端情况）
   若出票人以非法占有为目的，通过开具空头支票骗取财物，且数额较大（通常指2万元以上），可能构成《刑法》第194条规定的“票据诈骗罪”。一旦定罪，出票人将面临5年以下有期徒刑或拘役，并处2万元以上20万元以下罚金；数额巨大或情节严重的，刑期可升至5年以上10年以下有期徒刑，并处罚金。

建议处理步骤：

1. 立即联系出票人，要求其补足账户余额或更换有效支付方式；
   
2. 若出票人拒不履行，持票人应在支票到期日起6个月内（票据权利时效）向法院提起民事诉讼；
   
3. 若发现出票人存在恶意欺诈行为，可向公安机关报案，追究其刑事责任。
   

温馨提示：支票兑付涉及复杂法律关系，建议持票人在处理过程中保留支票原件、拒付证明（如银行退票理由书）及与出票人的沟通记录等证据。如有进一步疑问，可直接向我咨询具体操作细节。