关于您提到的“陪同家人进留置室叫什么阶段”的问题，首先需要明确的是，留置室是监察机关在调查过程中，对被调查人采取留置措施时使用的特定场所。而“陪同家人进留置室”这一行为，并不直接对应一个特定的法律或程序阶段，因为它涉及到的是家属的探视或陪同情况，这在留置措施中并不是一个标准化的流程。

不过，我们可以从留置措施的相关规定和家属的权益保障角度来解读这个问题。

1. 留置措施的通知： 根据监察法的规定，对被调查人采取留置措施后，监察机关应当在二十四小时以内通知被留置人员所在单位和家属，但有可能毁灭、伪造证据，干扰证人作证或者串供等有碍调查情形的除外。这意味着，在正常情况下，家属会得知被留置人的情况，但并不意味着家属可以随意进入留置室。

2. 留置室的访问： 留置室是监察机关进行调查工作的场所，其访问通常受到严格限制。在留置期间，被留置人的饮食、休息和安全由监察机关保障，但家属的直接陪同或进入留置室并不是常规做法。如果家属有特殊需求或情况，如需要了解被留置人的健康状况或传递必要的生活用品，通常需要通过监察机关指定的渠道和程序进行。

3. 家属的权益保障： 监察法强调保障被留置人的合法权益，包括饮食、休息、安全和医疗服务等。同时，也规定了讯问被留置人应当合理安排讯问时间和时长，以确保被留置人的基本权利不受侵犯。对于家属而言，他们有权了解被留置人的基本情况和健康状况，但具体访问或陪同的安排需遵循监察机关的规定。

4. 特殊情况的处理： 如果家属确实需要陪同被留置人进行某些特定活动（如医疗检查等），这通常需要在监察机关的严格监督和安排下进行，并且不是所有情况下都允许。这种情况下，陪同并不构成一个独立的“阶段”，而是作为特殊情况下的临时安排。

综上所述，“陪同家人进留置室”并不直接对应一个特定的法律或程序阶段。在留置措施中，家属的访问和陪同通常受到严格限制，并需遵循监察机关的规定和程序。如果您或您的家人面临类似情况，建议与监察机关沟通并了解具体的规定和程序。