结论前置：因公外出摔倒，单位是否负责及如何赔偿需分情况讨论，具体如下：
单位存在过错导致摔倒
- 责任认定：若单位在安排外出任务时存在明显过错，例如未提供必要的安全保障措施（如未配备安全防护装备、未对危险环境进行提示等），或因工作安排不合理（如要求员工在恶劣天气条件下从事高风险作业等）导致员工摔倒受伤，单位需承担相应赔偿责任。
- 赔偿范围：根据《民法典》第一千一百七十九条，单位需赔偿医疗费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入。若造成残疾，还需赔偿辅助器具费和残疾赔偿金；造成死亡的，需赔偿丧葬费和死亡赔偿金。
单位无过错，但符合工伤认定条件
- 责任认定：若摔倒虽非单位直接过错导致，但符合《工伤保险条例》第十四条规定的工伤情形（如工作时间和工作场所内因工作原因受到事故伤害、因工外出期间由于工作原因受到伤害等），员工可申请工伤认定，享受工伤保险待遇。
- 赔偿范围：工伤保险基金支付医疗费用、康复费用、住院伙食补助费、交通食宿费、安装配置伤残辅助器具所需费用、生活护理费、一次性伤残补助金等；单位需支付停工留薪期工资福利、五级至六级伤残员工按月领取的伤残津贴，以及终止或解除劳动合同时应支付的一次性伤残就业补助金。
单位无过错且不符合工伤认定条件
- 责任认定：若摔倒系员工自身原因（如疏忽大意、未注意安全等）导致，且不符合工伤认定条件，单位通常无需承担赔偿责任。但若单位自愿给予人道主义补偿，法律不禁止。
- 特殊情形：若员工因第三人侵权导致摔倒（如被他人撞倒），可依据《民法典》第一千一百六十五条向侵权人主张民事赔偿；若同时符合工伤条件，还可申请工伤保险待遇，但医疗费用等实际支出部分不得重复获赔。
建议行动：
- 立即就医并保留所有医疗票据、诊断证明等证据；
- 向单位报告事故情况，要求单位协助申请工伤认定（若符合条件）；
- 若单位拒绝申请工伤认定，员工可在事故发生之日起1年内自行向社保行政部门提出申请；
- 如对责任认定或赔偿金额有争议，可申请劳动仲裁或提起民事诉讼。
提示：具体案件需结合证据和当地司法实践综合判断，如有疑问可直接向我咨询。