当安全生产违法行为涉嫌犯罪时，应急管理部门应当采取以下一系列严谨且有序的处理措施：

一、初步核查与判断

应急管理部门在接到关于安全生产违法行为的举报或发现相关线索后，会首先进行初步的核查与判断。这一步骤旨在确认违法行为是否确实存在，以及其性质是否严重到涉嫌犯罪的程度。这通常包括对现场进行勘查、收集相关证据、询问相关人员等。

二、移送司法机关

一旦初步核查确认安全生产违法行为涉嫌犯罪，应急管理部门会立即将案件移送至有管辖权的司法机关，如公安机关或检察机关。在移送过程中，应急管理部门会提供详细的案件材料，包括现场勘查报告、证据清单、询问笔录等，以便司法机关能够迅速、准确地了解案情。

三、配合司法机关调查

移送案件后，应急管理部门并不会就此放手。相反，他们会积极配合司法机关的调查工作，提供必要的协助和支持。这可能包括提供进一步的技术鉴定、专家意见，或者协助司法机关进行现场勘查、证据收集等。应急管理部门的这种配合，有助于司法机关更全面地了解案情，从而作出更准确的判断。

四、关注案件进展与结果

应急管理部门还会密切关注案件的进展和结果。他们会与司法机关保持密切联系，及时了解案件的审理情况、判决结果等。如果案件最终被认定为犯罪，应急管理部门还会根据司法机关的判决结果，对涉事单位或个人进行相应的行政处罚或采取其他必要的监管措施。

五、加强宣传与教育

除了对具体案件的处理外，应急管理部门还会借此机会加强安全生产宣传与教育。他们会通过发布案例、举办讲座、开展培训等方式，提高公众对安全生产重要性的认识，增强企业和个人的安全意识，从而预防类似违法行为的再次发生。

六、完善监管机制

最后，应急管理部门还会对自身的监管机制进行反思和完善。他们会分析案件发生的原因和漏洞，提出改进措施和建议，以加强安全生产监管工作，确保类似违法行为能够得到及时发现和有效制止。

综上所述，当安全生产违法行为涉嫌犯罪时，应急管理部门会采取一系列严谨且有序的处理措施，包括初步核查与判断、移送司法机关、配合司法机关调查、关注案件进展与结果、加强宣传与教育以及完善监管机制等。这些措施旨在确保安全生产违法行为得到及时、有效的处理，从而维护社会的安全和稳定。