结论前置：孩子摔伤后的赔偿款，在一般情况下，如果是因他人侵权导致的，赔偿款是支付给孩子的法定监护人（如父亲）的，但监护人需确保赔偿款用于孩子的治疗和康复等合理用途；如果孩子摔伤是因自身原因或监护人未尽到监护职责导致的，则可能不存在赔偿问题或赔偿款支付对象会有所不同。以下是对此问题的详细分析：
一、赔偿款支付对象的一般原则
在侵权损害赔偿中，如果孩子因他人的侵权行为（如公共场所管理不善、他人故意或过失行为等）导致摔伤，那么赔偿款通常是支付给孩子的法定监护人的。这是因为孩子作为未成年人，不具备完全民事行为能力，其财产权益由监护人代为管理和保护。因此，在赔偿过程中，侵权方会与孩子的监护人（如父亲）进行协商，并将赔偿款支付给监护人。
二、监护人职责与赔偿款使用
监护人职责：监护人（如父亲）在收到赔偿款后，有义务确保赔偿款用于孩子的治疗、康复、教育等合理用途，不得挪作他用。这是监护人的法定职责，也是保护孩子权益的重要体现。
赔偿款使用：如果监护人未将赔偿款用于孩子的合理用途，而是挪作他用或挥霍浪费，那么监护人可能面临法律责任，包括但不限于被要求返还赔偿款、承担赔偿责任等。
三、特殊情况下的赔偿款支付对象
孩子自身原因摔伤：如果孩子摔伤是因其自身原因（如奔跑、玩耍时不慎摔倒等）导致的，且没有他人的侵权行为，那么可能不存在赔偿问题。在这种情况下，孩子的医疗费用等应由家庭自行承担。
监护人未尽到监护职责：如果孩子摔伤是因为监护人（如父亲）未尽到监护职责（如未看护好孩子、未提供安全的环境等）导致的，那么监护人可能需要承担一定的责任。在这种情况下，如果存在其他责任方（如公共场所的管理者），则赔偿款可能由责任方直接支付给孩子或孩子的其他法定监护人（如母亲），或者根据责任比例分担赔偿款。
四、法律建议
收集证据：如果孩子因他人的侵权行为摔伤，监护人应及时收集相关证据（如现场照片、视频、证人证言、医疗记录等），以便在协商或诉讼过程中证明侵权方的责任。
协商赔偿：在收集好证据后，监护人可以尝试与侵权方进行协商，要求其承担赔偿责任。协商过程中，监护人应明确诉求、出示证据，并说明赔偿依据和金额计算方式。
法律途径：如果协商不成，监护人可以通过法律途径解决纠纷。可以向有管辖权的人民法院提起民事诉讼，提交起诉状和相关证据。在诉讼过程中，监护人可以聘请专业律师提供法律帮助，以维护孩子的合法权益。
最后，孩子摔伤后的赔偿款支付对象并非绝对固定为监护人，而是需要根据具体情况进行判断。如果您对此问题仍有疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。