结论：通常情况下，没有公函是不能直接开具无犯罪证明的，但具体还需根据申请主体和申请流程来判断。
分析说明：
对于个人申请无犯罪证明：
- 一般情况：个人在申请无犯罪证明时，通常需要向户籍所在地的公安机关提出申请，并提交相关身份证明材料，如身份证、户口本等。在这个过程中，一般不需要公函，但需要填写相关的申请表格，并可能需要进行指纹采集等身份验证程序。然而，值得注意的是，虽然直接申请时可能不要求公函，但在某些特定情境下（如申请出国、就业等），相关机构或单位可能会要求申请人提供由公安机关出具的无犯罪证明，并可能附带要求该证明需通过特定渠道（如公函）获取或验证。但这种情况下的公函要求并非针对申请流程本身，而是针对证明的使用或验证环节。
- 特殊情况：如果个人因特殊原因（如行动不便、身处异地等）无法亲自前往公安机关申请，可能会委托他人代为申请。在这种情况下，代为申请的人可能需要提供委托书以及自身的身份证明，但通常也不需要额外的公函。不过，具体要求可能因地区而异，建议提前咨询当地公安机关。
对于单位或组织申请无犯罪证明：
- 一般情况：当单位或组织需要为其员工或成员申请无犯罪证明时（如招聘、出国考察等），通常需要出具公函。公函应明确说明申请的目的、申请人的身份信息以及所需证明的具体内容等。这是为了确保申请的合法性和正当性，防止无犯罪证明被滥用。
- 流程要求：单位或组织在出具公函后，还需按照公安机关的要求提交其他相关材料，如申请人的身份证明、单位的营业执照或组织机构代码证等。公安机关在审核材料无误后，会出具无犯罪证明。
法律建议：
- 如果您是个人需要申请无犯罪证明，建议直接前往户籍所在地的公安机关咨询并提交申请。在申请前，可以提前了解当地的具体要求和流程，以便更顺利地完成申请。
- 如果您是单位或组织需要为员工或成员申请无犯罪证明，建议先出具正式的公函，并明确说明申请的目的和所需证明的具体内容。同时，准备好其他相关材料，以便按照公安机关的要求提交申请。
后续行动与可能后果：
- 如果您在没有公函的情况下尝试申请无犯罪证明（尤其是单位或组织申请），可能会被公安机关拒绝或要求补充材料。这不仅会耽误您的时间，还可能影响您的正常业务或活动。
- 因此，建议您在申请前务必了解清楚当地的具体要求和流程，并按照要求准备相关材料。如果有任何疑问或不确定的地方，可以直接向当地公安机关咨询或寻求我的法律帮助。
如有其他疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。