当犯罪嫌疑人自首后被拘留37天，这一时间节点通常标志着案件已进入刑事诉讼程序的关键阶段。根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，以及结合实际法律实践，以下是针对此情况可能发生的处理决定及详细解释：
一、逮捕并继续羁押
条件：若经过公安机关的侦查，有充分证据证明犯罪嫌疑人确实存在犯罪事实，且根据犯罪情节，其可能面临徒刑以上的刑罚，同时采取取保候审等措施尚不足以防止发生社会危险性时，检察院将依法批准逮捕。
后续程序：一旦逮捕，案件将正式进入侦查、审查起诉、审判等刑事诉讼流程。侦查期限一般不得超过二个月，对于复杂案件，可经上级检察院批准延长。侦查完毕后，案件将移送检察院进行审查起诉，最终由法院依法作出判决。
二、释放
无罪释放：若经审查发现犯罪嫌疑人没有犯罪事实，或者依据法律不应追究其刑事责任（例如情节显著轻微、危害不大），公安机关应立即释放犯罪嫌疑人，并发给释放证明。
释放并处行政拘留：对于罪轻不需要追究刑事责任，但应追究行政责任的犯罪嫌疑人，公安机关可能在释放的同时，根据相关法律法规，对其处以行政拘留。
三、变更强制措施为取保候审或监视居住
条件：若证据不足以证明犯罪嫌疑人有犯罪事实，或者其犯罪情节轻微不需要逮捕，但案件仍需进一步侦查时，公安机关可以依法变更强制措施为取保候审或监视居住。
后续要求：在取保候审或监视居住期间，犯罪嫌疑人需严格遵守相关规定，如未经批准不得离开居住地，保持联系方式畅通，定期向公安机关报告等。案件仍在侦查中，侦查完毕后将根据结果作进一步处理。
四、关键时间节点与通知义务
在拘留期届满第37天时，检察院应就是否批准逮捕作出明确决定。若拒绝逮捕，公安机关需立即释放当事人，并及时通知检察院。若案件仍需侦查，公安机关将根据实际情况调整强制措施，并确保当事人的合法权益不受侵害。
总结与建议：
拘留37天后，公安机关和检察院会根据案件的具体情况和证据收集情况，依法对犯罪嫌疑人作出逮捕、释放、变更强制措施等处理决定。作为犯罪嫌疑人或其家属，应积极了解案件进展，配合司法机关的工作，并在必要时寻求专业律师的法律帮助，以确保案件的公正、公平处理，同时保障犯罪嫌疑人的合法权益。