核心结论：用工5个月因员工过失被辞退，赔偿问题需根据过失严重程度及公司规章制度是否合法有效等因素综合判断，可能存在无需赔偿、支付经济补偿金或支付赔偿金等不同情况。以下分情况详细说明：
- 员工存在一般过失，公司规章制度合法有效且履行了相应程序
- 无需支付赔偿金：如果员工的过失属于一般性失误，未给公司造成重大损害，且公司的规章制度明确规定了该种过失的处理方式为辞退，同时该规章制度经过了民主程序制定（如职工代表大会或全体职工讨论，提出方案和意见，与工会或职工代表平等协商确定），并且已经向员工公示或告知。在这种情况下，公司辞退员工属于合法解除劳动合同，无需支付赔偿金。
- 支付工资及结清相关费用：公司仍需按照劳动合同约定支付员工工作期间的工资，并结清加班费、奖金等应得费用。同时，为员工办理离职手续，如转移社保关系、出具解除劳动合同证明等。
- 员工存在严重过失，符合法定解除情形
- 无需支付经济补偿金或赔偿金：根据《劳动合同法》第三十九条规定，员工有下列情形之一的，用人单位可以解除劳动合同，且无需支付经济补偿金或赔偿金：在试用期间被证明不符合录用条件的；严重违反用人单位的规章制度的；严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的；劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正的；因本法第二十六条第一款第一项规定的情形致使劳动合同无效的（以欺诈、胁迫的手段或者乘人之危，使对方在违背真实意思的情况下订立或者变更劳动合同的）；被依法追究刑事责任的。如果员工的过失符合上述情形之一，公司辞退员工是合法的，无需进行赔偿。
- 同样需支付工资及结清相关费用：与一般过失情况相同，公司要支付员工工作期间的工资及相关费用，并办理离职手续。
- 公司以员工过失为由辞退，但不符合法定或约定条件
- 支付经济补偿金：如果公司辞退员工的理由不充分，不符合法定或公司规章制度规定的解除条件，属于违法解除劳动合同。但员工不要求继续履行劳动合同或者劳动合同已经不能继续履行的，公司应当依照经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。这里员工工作5个月，经济补偿为半个月工资，那么赔偿金就是一个月工资。
- 员工可要求继续履行合同：如果员工要求继续履行劳动合同的，公司应当继续履行。
建议：对于员工而言，如果认为公司的辞退行为不合法，可以收集相关证据，如劳动合同、工资支付记录、公司辞退通知等，向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，维护自己的合法权益。对于公司而言，在辞退员工时，要确保辞退理由充分、合法，规章制度完善且履行了相应程序，避免引发劳动纠纷。如果有进一步的疑问或需要具体的法律帮助，可以直接向我咨询。