结论前置：根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，公司在特定情形下开除员工无需支付经济补偿。以下是对这些情形的详细阐述及法律要点解析：
试用期内不符合录用条件
- 法律依据：《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条第一项。
- 具体情形：公司在招聘时需明确规定具体、合理且合法的录用条件，如学历、专业技能等，并在员工入职时让其知晓。若员工在试用期间被证明不符合这些条件，例如无法完成基本工作任务，且经培训或调整岗位后仍无法胜任，公司有权解除劳动合同且无需支付经济补偿。
- 举例：某公司招聘软件工程师，明确要求熟练掌握特定编程语言和开发框架，但试用期内发现某员工技能不达标，无法完成工作任务，此时公司可依据此规定解除合同。
严重违反规章制度
- 法律依据：《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条第二项。
- 具体情形：规章制度需通过民主程序制定，不违反法律法规，并已向劳动者公示。员工若多次旷工、泄露公司机密等行为，构成严重违反规章制度，公司有权解除劳动合同且无需支付经济补偿。
- 举例：某公司明文禁止工作时间内赌博，但某员工多次违规聚众赌博，严重影响了公司秩序，公司可据此开除该员工且不支付赔偿。
严重失职、营私舞弊，给用人单位造成重大损害
- 法律依据：《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条第三项。
- 具体情形：员工因玩忽职守、敷衍塞责等严重失职行为，或因利用职务之便谋取私利等营私舞弊行为，给公司造成重大损害（如巨额经济损失），公司有权解除劳动合同且无需支付经济补偿。
- 举例：财务人员疏忽大意导致巨额诈骗款项转出，或采购人员收受贿赂采购劣质原材料，给公司造成严重影响，公司可开除该员工且不支付经济补偿。
同时与其他单位建立劳动关系，且对完成本单位工作任务造成严重影响或拒不改正
- 法律依据：《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条第四项。
- 具体情形：员工若同时与其他单位建立劳动关系，对本单位工作任务造成严重影响，或经公司提出后拒不改正（如在本单位工作的同时在竞争对手处兼职），公司有权解除劳动合同且无需支付经济补偿。
- 举例：某员工在甲公司全职工作期间又与乙公司建立劳动关系，导致甲公司工作任务频繁延误，经多次提醒后仍不改正，甲公司可开除该员工且不支付赔偿。
因欺诈、胁迫或乘人之危订立劳动合同
- 法律依据：《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条第五项，结合第二十六条第一款第一项。
- 具体情形：若员工以欺诈、胁迫的手段或者乘人之危，使公司在违背真实意思的情况下订立或变更劳动合同（如提供虚假学历证书、工作经历等骗取录用），导致劳动合同无效，公司有权解除劳动合同且无需支付经济补偿。
- 举例：劳动者提供虚假学历证书、工作经历等信息骗取劳动合同，用人单位发现后可解除合同且不支付赔偿。
被依法追究刑事责任
- 法律依据：《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条第六项。
- 具体情形：员工若被人民法院判处刑罚（包括主刑和附加刑），或被依据《中华人民共和国刑法》免予刑事处罚，公司有权解除劳动合同且无需支付经济补偿。
- 举例：某员工因涉嫌犯罪被判处有期徒刑，其所在单位可依据此规定解除与其的劳动合同，且无需支付经济补偿。
注意事项：
- 在解除劳动合同时，公司必须确保其行为符合相关法律法规，避免歧视、压迫或报复行为。
- 公司需拥有明确且充分的证据以证实上述情况确实发生，例如试用期考核记录、规章制度文本、员工违规行为的记录及证据、财务损失报告、事故调查报告、法院的判决文书等，否则可能面临法律风险。
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