辱骂接线员到公然侮辱或构成寻衅滋事的程度，是有可能被拘留的。具体拘留条件及期限需根据《中华人民共和国治安管理处罚法》的相关规定来判断。

1. 公然侮辱他人的行为：

   • 根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第四十二条第二项规定，公然侮辱他人或者捏造事实诽谤他人的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款；情节较重的，处五日以上十日以下拘留，可以并处五百元以下罚款。
   • 公然性指的是在众多人在场或能使众多人了解的情况下进行侮辱，如公共场所、网络平台等。私下场合的辱骂一般不构成公然侮辱。
   • 侮辱性言辞的严重程度，指的是使用极其恶劣、粗俗、带有严重贬损性和攻击性的语言对他人进行辱骂，损害他人人格尊严的，更可能构成违法。

2. 构成寻衅滋事的行为：

   • 《中华人民共和国治安管理处罚法》第二十六条规定，有寻衅滋事行为的，处五日以上十日以下拘留，可以并处五百元以下罚款；情节较重的，处十日以上十五日以下拘留，可以并处一千元以下罚款。寻衅滋事行为包括随意辱骂他人，导致公共场所正常秩序受到严重破坏，引发群众恐慌、混乱或其他不良后果。

3. 拘留期限与罚款：

   • 对于公然侮辱或捏造事实诽谤他人的行为，情节较轻的，可能处五日以下拘留或五百元以下罚款。
   • 情节较重的，则可能处五日以上十日以下拘留，并可并处五百元以下罚款。

4. 取证建议：

   • 当遭遇他人辱骂时，建议及时录音或采取证人证言的方式来证明辱骂行为。
   • 如果辱骂行为通过网络进行，保存相关聊天记录或截图也是重要证据。

在实际案例中，如有人拨打政务服务热线辱骂和恐吓接线工作人员，且行为严重影响了热线的正常工作秩序，占用了其他群众反映正常诉求的公共热线资源，根据《治安管理处罚法》相关规定，其行为已构成扰乱单位秩序，可以被依法行政拘留。

因此，建议在日常交往中保持文明礼貌，避免使用侮辱性或攻击性的言语。若遭遇辱骂，应妥善取证并依法维护自身权益。对于严重的辱骂行为，法律将给予相应的制裁。如果你有其他关于此方面的法律问题，可以直接向我咨询。