农民工可通过以下途径申请政府加大工资清欠处理力度，核心结论如下：

1. 向劳动监察部门投诉举报
   根据《劳动保障监察条例》第九条，农民工可向用工所在地县级以上劳动保障监察机构（通常为劳动监察大队）提交书面投诉材料，要求政府介入调查欠薪事实。投诉时应提供劳动合同、工资条、考勤记录等证据，劳动监察部门需在5个工作日内受理并启动调查，对查实的欠薪行为可责令限期支付，逾期不付的将加付赔偿金（第五十条）。若企业拒不执行，政府可申请法院强制执行。

2. 申请劳动争议仲裁
   依据《劳动争议调解仲裁法》第五条，农民工可向劳动合同履行地或用人单位所在地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求支付拖欠工资及经济补偿。仲裁委员会需在45日内结案（复杂案件可延长15日），裁决具有法律效力。若企业不履行裁决，农民工可凭裁决书向法院申请强制执行，政府司法部门将协助推进执行程序。

3. 通过政府清欠平台或热线求助
   国务院《保障农民工工资支付条例》第十条明确要求县级以上地方人民政府建立农民工工资支付监控预警平台。农民工可通过国务院根治欠薪平台（微信小程序）、12333人力资源社会保障服务热线或当地政府设立的欠薪投诉专线反映问题。政府需在24小时内接诉即办，对重大欠薪案件实行领导包案、挂牌督办，确保欠薪问题在30日内办结。

4. 申请法律援助或司法救助
   根据《法律援助法》第三十一条，农民工因拖欠工资请求支付劳动报酬的，可向当地法律援助机构申请免费法律服务。法律援助机构需在7日内审查并指派律师协助维权。若农民工因欠薪导致生活困难，还可依据《司法救助规定》向法院申请司法救助金，政府将优先审核发放。

操作建议：

• 优先通过政府清欠平台或热线投诉，流程更快捷且政府督办力度更强；
  
• 同步准备劳动合同、工资条、考勤记录等证据材料，提高维权效率；
  
• 若涉及工程领域欠薪，可要求总承包单位先行清偿（依据《保障农民工工资支付条例》第三十条），再向分包单位追偿。
  

如有具体欠薪案件细节或证据材料，可直接向我咨询，我将结合《民法典》合同编、《刑法》拒不支付劳动报酬罪等条款提供进一步法律分析。