核心结论：雇员执行工作任务时发生单方肇事死亡且自己负全责的情况下，保险公司和公司的责任承担需分情况讨论，具体如下：
保险公司的责任承担
- 交强险部分：根据《机动车交通事故责任强制保险条例》规定，交强险的赔付范围是针对被保险机动车在道路交通事故中造成本车人员、被保险人以外的受害人人身伤亡、财产损失的赔偿。由于雇员是本车人员，交强险不承担对本车人员的赔偿责任，所以在此情况下，交强险不赔付。
- 商业险部分：如果公司为车辆投保了车上人员责任险（司机险或乘客险，视雇员身份而定），且事故发生在保险期间内，保险公司将按照保险合同的约定进行赔付。赔付金额取决于保险合同中约定的赔偿限额以及事故的具体情况（如是否属于保险责任范围、是否有免赔条款等）。如果雇员负事故全责，且不存在保险合同约定的免赔情形，保险公司将在赔偿限额内全额赔付。
- 雇主责任险部分：如果公司投保了雇主责任险，该保险通常覆盖雇员在执行工作任务过程中因意外事故导致的死亡、伤残等损失。在此情况下，保险公司将根据雇主责任险的合同条款，对雇员的死亡进行赔付。赔付金额同样取决于保险合同中约定的赔偿限额以及事故的具体情况。
公司的责任承担
- 工伤保险责任：根据《工伤保险条例》的规定，雇员在执行工作任务过程中发生事故伤害或者患职业病，且符合工伤认定条件的，应认定为工伤。即使雇员负事故全责，也不影响工伤的认定。因此，公司应依法为雇员申请工伤认定，并承担工伤保险责任，包括支付丧葬补助金、供养亲属抚恤金和一次性工亡补助金等。
- 民事赔偿责任：在工伤保险责任之外，如果公司存在过错（如未提供安全的工作环境、未进行必要的安全培训等），且该过错与雇员的死亡存在因果关系，公司还可能需承担一定的民事赔偿责任。然而，在雇员负事故全责的情况下，公司的过错责任通常较难认定，除非公司存在明显的安全管理疏漏或违规行为。
特殊情况说明：如果雇员的死亡是由于故意犯罪、醉酒或者吸毒、自残或者自杀等原因造成的，根据《工伤保险条例》的规定，不得认定为工伤或者视同工伤。在此情况下，公司无需承担工伤保险责任，且保险公司也可能根据保险合同的约定拒绝赔付。
建议：在处理此类事故时，公司应首先确保及时为雇员申请工伤认定，并配合保险公司进行理赔工作。同时，公司应审查自身的安全管理措施，确保不存在过错或疏漏，以降低潜在的法律风险。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。