小区院内禁止燃放烟花爆竹的管理责任，主要归属于公安机关及物业管理部门，具体依据不同情况而定：

1. 公安机关的直接管理责任
   根据《烟花爆竹安全管理条例》第二十八条，燃放烟花爆竹需在指定地点进行，禁止在法律法规明确禁止的区域（如人员密集场所、易燃易爆物品储存单位等）燃放。小区院内若被纳入当地政府划定的“禁止燃放区域”（如城市建成区），则公安机关有权依据条例第四十二条对违规燃放行为进行处罚，包括警告、罚款甚至行政拘留。此时公安机关是直接执法主体。

2. 物业管理的配合与自主管理权
   若小区未被纳入政府统一禁放区域，但物业通过《管理规约》或业主大会决议明确禁止燃放，则依据《民法典》第二百八十六条（业主共同决定事项）及第九百四十二条（物业安全保障义务），物业有权对违规行为进行劝阻、制止，并可要求公安机关协助处理。例如，物业可设置警示标识、加强巡查，对拒不改正者报告公安机关。

实务建议：

• 若您所在小区已张贴政府禁放通告，可直接向公安机关举报违规行为；
  
• 若仅物业规定禁止燃放，建议优先通过物业协调，必要时可要求物业公示相关业主大会决议或管理规约依据；
  
• 燃放行为造成损害的（如火灾、人身伤害），受害方可依据《民法典》第一千一百六十五条要求行为人承担侵权责任，物业未尽到安全保障义务的亦需承担相应责任。
  

如有具体案例细节（如是否发生损害、物业是否履行告知义务等），可进一步向我咨询，我将结合地方性法规为您分析责任划分。