结论：劳动仲裁公司上诉证据不足被驳回后，公司是否还可以上诉，取决于原仲裁裁决的性质以及公司是否在法定期限内采取了正确的法律行动。以下分情况详细说明：
若原仲裁裁决为终局裁决：
- 情况说明：根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》第四十七条，特定类型的劳动争议仲裁裁决，如追索劳动报酬、工伤医疗费、经济补偿或赔偿金等，若不超过当地月最低工资标准十二个月金额，或涉及工作时间、休息休假、社会保险等方面的争议，且仲裁裁决为终局裁决。
- 法律后果：在此情况下，公司若因证据不足被驳回上诉，通常意味着仲裁裁决已经生效，公司不能再就同一争议事项向法院提起诉讼。但公司若有证据证明仲裁裁决存在法定撤销情形（如适用法律错误、仲裁员有贪污受贿等行为、裁决违背社会公共利益等），可在收到裁决书之日起三十日内向劳动争议仲裁委员会所在地的中级人民法院申请撤销裁决。
若原仲裁裁决为非终局裁决：
- 情况说明：对于非终局裁决，即不属于上述终局裁决范围的劳动争议仲裁裁决，公司若因证据不足被驳回上诉，并不意味着仲裁裁决立即生效。
- 法律行动：公司可以在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼，要求法院对争议事项进行重新审理。在此过程中，公司需要准备更充分的证据来支持其主张，以增加胜诉的可能性。
法律建议：
- 对于公司而言：在劳动仲裁或诉讼过程中，证据的收集和整理至关重要。公司应尽可能收集与争议事项相关的所有证据，包括但不限于劳动合同、工资单、考勤记录、工作邮件、聊天记录等，以形成完整的证据链。若因证据不足被驳回上诉，公司应评估是否有可能收集到新的证据，并考虑是否采取进一步的法律行动。
- 对于劳动者而言：若公司因证据不足被驳回上诉，劳动者应确认仲裁裁决的性质（终局裁决或非终局裁决），并据此采取相应的法律行动。若裁决为终局裁决且已生效，劳动者可要求公司履行裁决义务；若裁决为非终局裁决，劳动者应做好应诉准备，以防公司提起诉讼。
可能后果：
- 若公司未能在法定期限内采取正确的法律行动（如申请撤销终局裁决或提起诉讼），则仲裁裁决将生效，公司需履行裁决义务。
- 若公司采取了正确的法律行动但未能提供充分证据支持其主张，则可能面临败诉的风险，并需承担相应的法律责任（如支付赔偿金、履行合同义务等）。
如有任何进一步的问题或需要更具体的法律建议，请直接向我咨询。