您好，关于您提出的“在一个户口本上的继子是否有法定继承权”的问题，这主要取决于继子与继父母之间是否形成了扶养关系。以下是我为您详细梳理的解答：

首先，我们需要明确的是，根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，遗产继承方式主要包括法定继承、遗嘱继承或遗赠、遗赠抚养协议。在继父母去世且未立遗嘱的情况下，我们主要关注的是法定继承。

在法定继承中，继子女是否享有继承权，关键在于他们与继父母之间是否形成了扶养关系。这种扶养关系通常指的是继父母对未成年继子女或虽成年但不能独立生活的继子女进行了抚养教育。具体来说，如果继父母与未成年继子女或未能独立生活的继子女间具有持续、较为稳定的共同生活经历，且继父母履行了抚养、教育职责，那么就可以认定形成了具有扶养关系的继父母子女关系。

一旦形成了这种扶养关系，继子女就享有与婚生子女、非婚生子女、养子女同等的法定继承权，即作为第一顺序继承人继承继父母的遗产。这是根据《中华人民共和国民法典》第一千一百二十七条的规定，遗产按照下列顺序继承：第一顺序包括配偶、子女、父母，其中子女就包括了有扶养关系的继子女。

另外，值得注意的是，即使继子女与继父母之间形成了扶养关系，他们仍然不影响其继承生父母的遗产。这是根据《最高人民法院关于适用<中华人民共和国民法典>继承编的解释(一)》第十一条的规定。

如果继子女与继父母之间没有形成扶养关系，那么继子女就不享有法定继承权。但是，如果继子女对继父母履行了赡养义务，根据《中华人民共和国民法典》第一千一百三十一条的规定，他们仍然可以分给适当的遗产。

综上所述，一个户口本上的继子是否有法定继承权，主要取决于他与继父母之间是否形成了扶养关系。如果形成了扶养关系，他就享有法定继承权；如果没有形成扶养关系，但履行了赡养义务，他仍然可以分得适当的遗产。希望这个解答能够帮助您更好地理解这个问题。