结论：存够当初欠的本金和利息后，能否向银行申请减免违约金和罚息，需分情况讨论，具体如下：
银行政策与合同约定角度
- 银行对于违约金和罚息的减免通常有其内部政策和规定，同时也会受到借款合同条款的约束。如果借款合同中明确约定了在特定条件下（如借款人提前还款、出现特殊困难等）可以减免违约金和罚息，那么在满足这些条件时，您是有可能向银行申请减免的。
- 然而，如果合同中没有相关约定，或者银行的政策并不支持减免，那么即使您存够了本金和利息，银行也可能不会同意减免违约金和罚息。
沟通协商角度
- 即便合同中没有明确约定减免条款，您仍然可以尝试与银行进行沟通协商。在协商过程中，您可以向银行说明您的实际情况（如经济困难、还款意愿等），并表达您希望减免违约金和罚息的诉求。
- 银行在考虑是否减免时，可能会综合评估您的还款记录、信用状况以及减免对其自身利益的影响等因素。如果银行认为减免符合其利益或风险控制要求，那么有可能会同意您的申请。
法律途径角度
- 如果银行拒绝减免违约金和罚息，且您认为银行的拒绝行为存在不合理或违法之处（如银行收取的违约金和罚息过高，违反了相关法律法规的规定），那么您可以通过法律途径来维护自己的权益。
- 在这种情况下，您可以咨询专业律师，了解相关法律法规和诉讼程序，并考虑是否提起诉讼或申请仲裁等法律程序来寻求减免。