结论：因受伤导致逾期5天能否申诉，需结合具体情况判断，主要看逾期原因是否符合法定或约定的免责事由，以及是否及时履行了通知义务。以下从不同角度详细分析：
一、逾期原因是否构成免责事由
法定免责事由：
- 根据《民法典》的相关规定，因不可抗力不能履行民事义务的，不承担民事责任。不可抗力是指不能预见、不能避免且不能克服的客观情况，如自然灾害、战争等。受伤本身通常不被直接认定为不可抗力，但如果受伤是由于不可抗力事件（如地震导致的意外伤害）直接导致，且该伤害确实导致无法按时履行义务，则可能构成免责事由。
- 除了不可抗力，法律还规定了其他免责情形，如债权人自身原因导致的履行障碍等。但这些情形通常与受伤无直接关联。
约定免责事由：
- 如果合同中明确约定了因受伤等特定原因导致逾期可以免责，那么根据合同约定，您有权申诉并主张免责。
- 例如，某些合同可能规定，因意外伤害导致无法按时履行义务的，经书面通知并附相关证明后，可免除违约责任。
二、是否及时履行了通知义务
- 无论是否构成免责事由，及时通知对方并说明情况都是关键。根据《民法典》的规定，当事人一方因不可抗力不能履行合同的，应当及时通知对方，以减轻可能给对方造成的损失，并应当在合理期限内提供证明。
- 如果因受伤导致逾期，您应尽快通知对方，并说明受伤情况、治疗进展以及预计恢复时间等，以便对方了解情况并作出相应安排。
三、申诉的具体操作与建议
收集证据：
- 收集与受伤相关的医疗证明、诊断书、住院记录等，以证明受伤事实及其对履行义务的影响。
- 如果合同中有约定免责条款，还需准备合同文本作为证据。
书面申诉：
- 向对方发送书面申诉函，详细说明逾期原因、受伤情况、已采取的措施以及预计恢复时间等。
- 附上相关证据材料，以便对方核实情况。
协商与调解：
- 在申诉过程中，保持与对方的沟通，尝试通过协商或调解解决争议。
- 如果双方能够达成一致意见，可以签订书面协议明确各自的权利义务。
法律途径：
- 如果协商或调解无果，且您认为自己的权益受到侵害，可以考虑通过法律途径解决争议。
- 可以向法院提起诉讼或申请仲裁（如果合同中有仲裁条款），要求确认免责或减轻责任。
最后建议：因受伤导致逾期5天能否申诉，需根据具体情况判断。如果受伤确实导致无法按时履行义务，且符合法定或约定的免责事由，同时您已及时履行了通知义务，那么您有权申诉并主张免责。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。