结论：上市公司独立董事（独董）的公司是否可以和上市公司签订业务合同，需根据具体情况判断，主要涉及关联交易审查、独董独立性及公司章程与内部规定等角度。以下从不同角度详细分析：

1. 关联交易审查角度

根据《公司法》及相关规定，上市公司与关联方（包括独董控制或参股的公司）之间的交易，需经过严格的关联交易审查程序。这通常包括：

• 披露义务：上市公司需在年报、半年报等定期报告中披露关联交易情况，确保信息透明。
• 审批程序：关联交易需经过董事会或股东大会的审议和批准，特别是当交易金额达到一定比例时，需获得独立董事的同意或股东大会的特别决议。
• 公平性审查：关联交易需确保价格公允，不得损害上市公司及其他股东的利益。

若独董的公司与上市公司签订业务合同，且该交易构成关联交易，则必须遵循上述审查程序。否则，可能因违反关联交易规定而面临法律风险，包括但不限于交易被撤销、相关责任人被处罚等。

2. 独董独立性角度

独董的核心职责是维护上市公司整体利益，尤其要关注中小股东的合法权益不受损害。因此，独董需保持独立性，避免与上市公司存在利益冲突。

• 若独董的公司与上市公司签订业务合同，且该交易可能影响独董的独立性判断，则独董应回避该交易的审议和决策过程，以确保决策的公正性和客观性。
• 若独董未能有效回避，或该交易被证实存在利益输送等不当行为，则独董可能面临法律责任，包括但不限于被罢免、承担民事赔偿责任等。

3. 公司章程与内部规定角度

上市公司通常会在公司章程或内部规定中明确关联交易的管理和审批程序，以及独董的职责和回避机制。

• 若公司章程或内部规定对独董的公司与上市公司签订业务合同有特别限制或要求，则必须严格遵守这些规定。
• 若违反公司章程或内部规定，则可能面临公司内部的纪律处分，甚至可能引发股东诉讼等法律纠纷。

4. 实际操作建议

• 提前审查：在独董的公司与上市公司签订业务合同前，应提前进行关联交易审查，确保交易符合法律法规和公司章程的要求。
• 充分披露：确保关联交易信息充分披露，避免信息不对称导致的法律风险。
• 独立判断：独董应保持独立性，避免在关联交易中谋取个人利益，确保决策的公正性和客观性。

总结来说，上市公司独董的公司可以和公司签订业务合同，但必须严格遵守关联交易审查程序、保持独董的独立性，并遵守公司章程和内部规定。若您在此方面遇到具体问题或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。