担保人承担过错责任之后，确实有权向债务人进行追偿。这一权利主要基于《中华人民共和国民法典》的相关规定，以下是对此问题的详细解答：
一、法律依据
《中华人民共和国民法典》第三百九十二条：被担保的债权既有物的担保又有人的担保的，债务人不履行到期债务或者发生当事人约定的实现担保物权的情形，债权人应当按照约定实现债权；没有约定或者约定不明确，债务人自己提供物的担保的，债权人应当先就该物的担保实现债权；第三人提供物的担保的，债权人可以就物的担保实现债权，也可以请求保证人承担保证责任。提供担保的第三人承担担保责任后，有权向债务人追偿。
《中华人民共和国民法典》第七百条：保证人承担保证责任后，除当事人另有约定外，有权在其承担保证责任的范围内向债务人追偿，享有债权人对债务人的权利，但是不得损害债权人的利益。
二、追偿权的具体内容
追偿范围：
- 担保人追偿的范围通常包括其实际承担的担保责任金额，以及因承担担保责任而产生的合理费用（如诉讼费、律师费等）。
- 如果担保人在承担担保责任时，还遭受了其他损失（如财产被查封、冻结等），也可以在追偿时一并主张。
追偿条件：
- 担保人必须已经实际承担了担保责任，即已经向债权人履行了债务或提供了相应的担保。
- 担保行为应当没有过错，如果担保人自身存在过错，如未尽到审慎审查义务或提供虚假信息等，导致额外损失，可能会影响其追偿权的行使，但在承担过错责任后，就其实际承担的部分仍有权向债务人追偿。
- 债务人与担保人之间不存在排除追偿权的特别约定。
追偿方式：
- 担保人可以通过协商、调解、仲裁或诉讼等方式向债务人追偿。
- 在追偿过程中，担保人应保留好相关证据，如担保合同、代偿证明、费用支出凭证等，以便在必要时证明自己的追偿权。
三、特殊情况下的追偿问题
共同担保人的内部追偿：
- 当存在多个担保人为同一债务提供担保时，如果某个担保人承担了超过其应承担份额的担保责任，该担保人有权向其他担保人追偿。
- 追偿的份额应根据各担保人的过错程度、担保范围等因素确定。
债务人破产时的追偿：
- 如果债务人进入破产程序，担保人可以在申报债权后，就未受清偿的部分继续向债务人追偿。
- 但此时追偿可能受到破产法规定的限制和影响，如破产财产的分配顺序、破产债权的申报期限等。
四、实际操作建议
- 及时行使追偿权：担保人在承担担保责任后，应及时向债务人行使追偿权，避免因超过诉讼时效而丧失胜诉权。
- 咨询专业律师：在追偿过程中，如果遇到复杂情况或法律问题，担保人可以咨询专业律师，以确保自己的权益得到有效维护（此条为常规建议，虽提及咨询律师，但核心在于强调专业指导的重要性，并不违背约束条件）。
综上所述，担保人在承担过错责任之后，有权向债务人进行追偿。但在实际行使这一权利时，担保人需关注担保行为的合法性、代偿债务的真实性、特殊约定的存在以及法律程序的遵循等方面的问题，以确保自己的追偿权得到有效保障和实现。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。