农民工货车师傅拿不到工资，最快且有效的处理部门是当地的劳动监察大队，同时也可以考虑申请劳动仲裁或向法院起诉。以下是从不同角度给出的详细分析和建议：
一、向当地劳动监察大队投诉
法律依据：
- 根据《劳动保障监察条例》的相关规定，劳动监察大队是负责监督用人单位遵守劳动保障法律、法规和规章的机构，有权对用人单位的违法行为进行查处，包括拖欠工资等。
处理流程：
- 农民工货车师傅可以携带相关证据（如劳动合同、工资条、工作记录等）到当地劳动监察大队进行投诉。
- 劳动监察大队会依法进行调查，并在规定时间内给出处理结果。如果用人单位确实存在拖欠工资的行为，劳动监察大队会责令其限期支付，并可能加付赔偿金。
优势：
- 处理速度快，劳动监察大队通常会在较短时间内给出处理结果。
- 无需支付费用，减轻了农民工的经济负担。
二、申请劳动仲裁
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》的相关规定，劳动仲裁是解决劳动争议的一种重要方式。
处理流程：
- 农民工货车师傅可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，提交仲裁申请书和相关证据。
- 劳动争议仲裁委员会会依法进行审理，并作出裁决。如果用人单位不履行裁决，农民工还可以向法院申请强制执行。
优势：
- 仲裁裁决具有法律效力，用人单位必须履行。
- 仲裁过程相对公正，能够保障农民工的合法权益。
三、向法院起诉
法律依据：
- 如果劳动仲裁未能解决问题，或者农民工对仲裁结果不满意，还可以向法院提起诉讼。
处理流程：
- 农民工需要准备起诉状和相关证据，向法院提起诉讼。
- 法院会依法进行审理，并作出判决。如果用人单位不履行判决，农民工可以申请强制执行。
优势：
- 法院判决具有最高的法律效力，能够确保农民工的权益得到最大程度的保障。
- 在诉讼过程中，农民工可以寻求法律援助或聘请律师代理，以更好地维护自己的权益。
四、其他建议
保留证据：
- 农民工货车师傅在维权过程中，一定要保留好相关证据，如劳动合同、工资条、工作记录、聊天记录等。这些证据将有助于证明自己的权益和用人单位的违法行为。
寻求帮助：
- 如果农民工在维权过程中遇到困难或问题，可以向当地的工会、法律援助中心或律师寻求帮助。他们可以提供法律咨询、代理诉讼等服务，帮助农民工更好地维护自己的权益。
了解政策：
- 农民工可以关注当地政府或劳动保障部门发布的政策信息，了解有关工资支付、劳动保障等方面的规定和要求。这有助于农民工更好地了解自己的权益和维权途径。
总结来说，对于农民工货车师傅拿不到工资的问题，最快且有效的处理部门是当地的劳动监察大队。同时，也可以考虑申请劳动仲裁或向法院起诉。在维权过程中，一定要保留好相关证据，并寻求必要的帮助和支持。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。