结论前置：在劳动者与用人单位已经连续签订两次固定期限劳动合同后，第三次签订劳动合同时，劳动者在符合特定条件下有权要求签订无固定期限劳动合同。以下是对此问题的详细分析：
一、法律规定与适用条件
根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条的规定，当劳动者与用人单位连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有《劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形（即劳动者不存在严重违反用人单位规章制度、严重失职等情形，也不存在因患病或非因工负伤在医疗期满后不能从事原工作等情形），续订劳动合同时，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。
二、签订无固定期限劳动合同的注意事项
书面形式：无固定期限劳动合同应以书面形式订立，明确双方的权利和义务。这是确保合同有效性和双方权益的重要步骤。
合同条款：合同中应包含工作内容、工作地点、工作时间、劳动报酬、社会保险等必备条款，并可约定试用期、培训、保密等其他事项。这些条款应详细、明确，以避免未来可能出现的争议。
遵循平等自愿原则：合同的签订应遵循合法、公平、平等自愿、协商一致、诚实信用的原则。双方应在平等的基础上，就合同条款进行充分协商，确保合同的公平性和合理性。
三、若第三次被签为一年期合同的处理方式
劳动者希望签订无固定期限合同：
劳动者接受一年期合同：
四、用人单位的责任与应对
意识到错误并纠正：用人单位在发现错误后，应主动与劳动者沟通，说明情况，争取理解，并协商重新签订无固定期限劳动合同。
应对劳动者主张权利：若劳动者提出异议并通过投诉、仲裁等途径主张权利，用人单位需积极应对，确实违法时应依法纠正，如补签无固定期限劳动合同，并支付相应的赔偿或补偿。
五、法律后果与风险提示
如果用人单位违反法律规定，不与劳动者签订无固定期限劳动合同，可能面临支付双倍工资差额的风险。例如，若用人单位自用工之日起满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，自用工之日起满一个月的次日至满一年的前一日应当向劳动者每月支付两倍的工资。
最后建议：在整个过程中，无论是劳动者还是用人单位，都应保留好与劳动合同相关的所有证据。对于劳动者而言，这些证据将在后续的协商、仲裁或诉讼中起到关键作用；对于用人单位而言，也是证明自己行为合法性的重要依据。若您在劳动合同签订过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。