结论：狗狗跑路上被车撞死后司机逃跑，在一般情况下可能构成肇事逃逸，但具体是否构成还需根据实际情况和证据来判断。
一、肇事逃逸的定义与关键要素
根据《最高人民法院关于审理交通肇事刑事案件具体应用法律若干问题的解释》以及《中华人民共和国道路交通安全法》的相关规定，肇事逃逸是指在发生交通事故后，为逃避法律追究而逃跑的行为。其关键要素包括：存在交通事故、行为人知晓事故发生、以及行为人具有逃避法律追究的故意。
二、撞死狗后逃跑的情况分析
狗作为财产：
- 在法律上，狗被视为财产的一种。因此，开车撞死狗属于造成他人财产损失的交通事故。
- 如果驾驶人在撞死狗后明知事故发生，却未停车处理而直接离开现场，这种行为符合肇事逃逸的构成要件。除非驾驶人能够证明自己在事故发生时确实不知情，否则一般应认定为肇事逃逸。
特殊情况分析：
- 狗是流浪狗或无主人：如果撞死的狗是流浪狗或无法确定其主人，且没有造成其他财产损失或人身伤害，那么从法律层面看，它不属于特定他人的财产。在这种情况下，离开现场通常不被视为肇事逃逸。但需注意，如果驾驶人因此引发了其他交通事故或造成了公共设施的损坏，则可能构成其他违法行为。
- 驾驶人不知情或无法感知：如果驾驶人在撞狗时确实无法感知到碰撞，或者是在事后才被告知发生了事故，且没有逃避法律追究的意图，那么这种情况可能不构成肇事逃逸。但驾驶人需提供充分证据证明自己的不知情或无法感知。
- 紧急避险或不可抗力：在极少数情况下，如果驾驶人是因为紧急避险或不可抗力导致撞死狗，并且立即采取了合理措施处理后续事宜（如报警、联系狗主人等），那么也可能不构成肇事逃逸。
三、法律后果与责任承担
民事赔偿责任：
- 无论是否构成肇事逃逸，如果撞死了有主人的狗，驾驶人都需要向狗的主人承担民事赔偿责任，赔偿因狗死亡而遭受的经济损失。具体金额可通过协商或司法评估确定。
行政处罚：
- 如果构成肇事逃逸，驾驶人将面临公安机关交通管理部门的行政处罚，如罚款、扣分等。根据《中华人民共和国道路交通安全法》的规定，造成交通事故后逃逸，尚不构成犯罪的，由公安机关交通管理部门处二百元以上二千元以下罚款，可以并处十五日以下拘留。
刑事责任：
- 在严重情况下，如因逃逸导致他人受伤或死亡等严重后果的，还可能构成交通肇事罪等刑事犯罪，面临更严厉的法律制裁。但需注意，单纯撞死狗并逃逸，通常不直接构成交通肇事罪，除非同时满足其他构罪条件（如造成重大财产损失、人员伤亡等）。
四、建议与措施
- 立即停车并保护现场：如果发生此类情况，建议驾驶人立即停车、保护现场，并积极采取措施妥善处理（如联系狗主人、报警等）。
- 主动接受法律调查与处理：驾驶人应主动接受公安机关交通管理部门的调查与处理，如实陈述事故经过，配合相关部门的工作。
- 增强法律意识与安全意识：广大驾驶人在行车过程中应时刻保持警惕，注意路况和周围环境，避免类似事故的发生。同时，也应增强法律意识，了解并遵守相关法律法规的规定。
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