公司面对私人号码催收发短信威胁的情况，应采取以下措施进行处理：

1. 立即核实与记录：

   • 公司应首先核实短信内容的真实性，确认是否确实存在针对公司或员工的催收威胁。
   • 详细记录短信内容、发送时间、发送号码等关键信息，作为后续处理的证据。

2. 内部调查与沟通：

   • 公司内部应展开调查，了解是否有员工涉及相关债务问题，以及是否因此引发了外部催收行为。
   • 如果确认是员工个人债务问题导致的催收，公司应与员工进行沟通，了解具体情况，并提醒员工注意个人债务处理方式，避免对公司造成不良影响。

3. 法律应对与维权：

   • 如果催收行为涉嫌违法（如威胁、恐吓、骚扰等），公司应立即向当地公安机关报案，提供相关证据，要求公安机关依法处理。
   • 同时，公司也可以考虑向当地通信管理部门投诉，要求对发送威胁短信的号码进行查处。
   • 如果催收行为对公司造成了实际损失（如名誉损害、业务受阻等），公司还可以考虑通过法律途径追究催收方的民事责任，要求赔偿损失。

4. 加强内部管理与培训：

   • 公司应加强内部管理，完善员工债务管理制度，避免员工个人债务问题对公司造成不良影响。
   • 定期对员工进行法律培训，提高员工的法律意识和风险防范能力，使员工了解如何正确处理个人债务问题，以及如何应对外部催收行为。

5. 建立应对机制：

   • 公司可以建立一套应对外部催收威胁的机制，包括设立专门的应对小组、制定应对流程、准备应对材料等，以便在类似情况发生时能够迅速、有效地进行处理。

在处理过程中，公司应保持冷静、理性，避免与催收方发生直接冲突，同时积极维护自身合法权益。如果公司在处理过程中遇到任何法律问题或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询，我将根据公司的具体情况提供专业的法律意见和帮助。