结论：在“押一付一”且未签订书面租赁合同的情况下，能否退款需根据实际情况判断，主要取决于双方是否形成了事实上的租赁关系以及是否存在约定或法定解除事由。以下从不同角度进行分析：
一、未签订书面合同，但形成了事实上的租赁关系
法律背景：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，租赁合同是出租人将租赁物交付承租人使用、收益，承租人支付租金的合同。租赁期限六个月以上的，应当采用书面形式。当事人未采用书面形式，无法确定租赁期限的，视为不定期租赁。
- 在实际操作中，即使双方未签订书面租赁合同，但只要出租人将房屋交付给承租人使用，承租人支付了租金，双方就形成了事实上的租赁关系。
退款可能性：
- 如果双方形成了事实上的租赁关系，且没有约定具体的租赁期限，那么该租赁关系视为不定期租赁。在不定期租赁中，双方均有权随时解除合同，但应当在合理期限之前通知对方。因此，在这种情况下，您有权要求退款，但可能需要给予出租人一定的合理期限来寻找新的租客或进行其他安排。
- 如果双方虽然未签订书面合同，但约定了具体的租赁期限，且该期限尚未到期，那么您单方面要求退款可能构成违约。此时，出租人有权要求您承担违约责任，包括但不限于扣除押金作为违约金。
二、未形成事实上的租赁关系
法律背景：
- 如果双方虽然约定了“押一付一”，但实际上并未交付房屋或支付租金，或者交付的房屋与约定不符、存在严重质量问题等，导致租赁关系未能实际成立。
退款可能性：
- 在这种情况下，由于租赁关系未能实际成立，您有权要求出租人退还已支付的押金和租金。如果出租人拒绝退还，您可以通过法律途径维护自己的合法权益。
三、特殊情况下的退款
出租人违约：
- 如果出租人存在违约行为，如未按照约定交付房屋、提供的房屋存在严重质量问题等，导致您无法正常使用房屋，您有权要求解除合同并退还押金和租金。
不可抗力或政府行为：
- 如果因不可抗力（如自然灾害、战争等）或政府行为（如拆迁、征用等）导致租赁合同无法继续履行，双方均有权解除合同，且出租人应当退还您已支付的押金和租金（扣除已使用期间的租金后）。
法律建议
与出租人协商：
- 在任何情况下，首先尝试与出租人进行友好协商，寻求双方都能接受的解决方案。这通常是最快捷、最经济的方式。
收集证据：
- 如果协商无果，您需要收集相关证据来支持自己的主张。这包括但不限于支付凭证、聊天记录、照片或视频等证明租赁关系存在或不存在、出租人违约或存在其他法定解除事由的证据。
寻求法律帮助：
- 如果问题复杂或涉及较大金额，建议您咨询专业律师（即向我咨询）以获取更具体的法律建议和帮助。律师可以根据您的具体情况提供针对性的解决方案，并帮助您维护自己的合法权益。
最后，如果您在“押一付一”且未签订书面租赁合同的情况下遇到退款问题，请根据上述分析结合自己的实际情况进行判断和处理。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。