教师签订合同的对方主体，主要取决于教师的编制类型及所在学校的性质，一般而言，可能跟教育局签，也可能跟学校签。以下是对此问题的详细分析：
一、编制内教师
公立学校编制内教师：
- 合同签订方：通常与教育局签订聘用合同。这是因为公立学校的编制由教育局统一管理，教师作为事业单位工作人员，其聘用关系、工资待遇、职称评定等均由教育局负责。
- 法律依据：根据《事业单位人事管理条例》等相关规定，事业单位与工作人员订立的聘用合同，期限一般不低于3年。这为公立学校编制内教师与教育局签订聘用合同提供了法律基础。
特殊情况：
- 在某些地区或特定情况下，公立学校编制内教师也可能与学校直接签订聘用合同，但这种情况相对较少，且合同内容仍需遵循教育局的相关规定和指导。
二、编制外教师
公立学校编制外教师：
- 合同签订方：通常与学校签订劳动合同。这是因为编制外教师不属于事业单位工作人员，其劳动关系、工资待遇等由学校自主管理。
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》等相关规定，用人单位与劳动者建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。这为公立学校编制外教师与学校签订劳动合同提供了法律基础。
私立学校教师：
- 合同签订方：无论是否具有编制，私立学校教师均与学校签订劳动合同。私立学校作为独立的法人实体，自主招聘教师并管理其劳动关系。
- 注意事项：私立学校教师在签订劳动合同时，应特别注意合同条款的合法性、合理性以及双方的权利义务关系，以维护自身合法权益。
三、合同签订时的注意事项
审查合同条款：
- 教师在签订合同时，应仔细审查合同条款，确保合同内容合法、合理且明确双方的权利义务关系。
- 特别注意合同期限、工资待遇、社会保险、福利待遇、违约责任等关键条款。
保留相关证据：
- 教师在签订合同过程中，应保留好相关证据，如合同文本、招聘公告、录用通知等，以备不时之需。
咨询专业意见：
- 如对合同条款存在疑问或争议，教师应及时咨询专业律师或相关机构，以获取专业意见和帮助。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。