结论：在未签订合同的情况下，美容美发折扣卡使用一次后，商家是否退款需视具体情况而定，包括但不限于商家的退款政策、消费者权益保护法的相关规定以及双方是否存在其他约定。
分析如下：
商家的退款政策：
- 商家在销售折扣卡时，通常会制定自己的退款政策，并在销售时向消费者明确告知。如果商家的退款政策中明确规定了在使用折扣卡一次后可以退款，那么消费者有权要求商家按照政策退款。
- 如果商家的退款政策中未明确规定或明确规定不能退款，那么消费者要求退款可能会面临一定的困难。但即便如此，消费者仍可以尝试与商家协商，看是否能够达成退款协议。
消费者权益保护法的相关规定：
- 根据《中华人民共和国消费者权益保护法》的相关规定，消费者在购买、使用商品或接受服务时，享有知情权、选择权、公平交易权等权利。如果商家在销售折扣卡时未明确告知消费者退款政策或存在其他欺诈行为，消费者有权要求商家承担相应的法律责任。
- 然而，在未签订书面合同的情况下，消费者要证明商家存在欺诈行为或未履行告知义务可能会面临一定的难度。因此，消费者在购买折扣卡前应尽量了解商家的退款政策，并保留好相关证据。
双方是否存在其他约定：
- 如果消费者在购买折扣卡时与商家达成了其他口头或书面约定，如“使用一次后可退款”等，那么这些约定将具有法律效力。消费者可以依据这些约定要求商家退款。
- 但需要注意的是，口头约定在举证时可能存在一定的困难。因此，建议消费者在购买折扣卡时尽量与商家签订书面合同，以明确双方的权利和义务。
建议：
- 与商家协商：首先尝试与商家进行友好协商，看是否能够达成退款协议。在协商过程中，消费者可以明确表达自己的诉求和理由，并尝试提供相关证据支持自己的观点。
- 寻求消费者协会帮助：如果协商无果，消费者可以向当地的消费者协会寻求帮助。消费者协会可以提供调解服务，帮助消费者与商家达成和解。
- 法律途径：如果以上方法均无法解决问题，消费者可以考虑通过法律途径维护自己的合法权益。例如，向法院提起诉讼或申请仲裁等。
后续行动提示：在处理此类纠纷时，消费者应保留好相关证据，如购买凭证、使用记录、与商家的沟通记录等。这些证据将在后续协商、调解或诉讼过程中发挥重要作用。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。