酒店地毯被烟头烫坏，客人走了的情况下，酒店可以通过以下途径来寻求赔偿：
尝试联系客人协商赔偿：
- 酒店首先应尝试通过客人入住时登记的联系方式（如电话、邮箱等）与客人取得联系，说明地毯被烫坏的情况，并协商赔偿事宜。
- 在协商过程中，酒店可以提出合理的赔偿要求，如修复地毯的费用或更换新地毯的费用等。
收集证据以支持赔偿要求：
- 如果客人拒绝赔偿或无法联系到客人，酒店应开始收集相关证据，以证明地毯被烫坏的事实以及损失的具体金额。
- 证据可以包括：地毯被烫坏的现场照片、监控录像（如果有的话）、酒店工作人员的证言、修复或更换地毯的报价单或发票等。
考虑通过法律途径解决：
- 如果协商无果，且酒店有足够的证据支持其赔偿要求，那么酒店可以考虑通过法律途径来寻求赔偿。
- 具体来说，酒店可以向法院提起诉讼，要求客人赔偿因烟头烫坏地毯所造成的损失。在诉讼过程中，酒店需要提交上述收集到的证据，以证明其主张。
在法律层面，以下是一些相关的考虑因素：
- 侵权责任：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。在这个案例中，如果客人因疏忽或故意将烟头扔在地毯上导致地毯被烫坏，那么客人就构成了对酒店财产的侵权，应当承担赔偿责任。
- 赔偿范围：赔偿范围通常包括直接损失和间接损失。直接损失是指因侵权行为直接导致的财产损失，如修复或更换地毯的费用。间接损失则是指因侵权行为而导致的其他损失，如因地毯损坏而影响酒店正常营业所造成的损失等。不过，在实际操作中，间接损失的赔偿往往较难证明和计算。
针对此情况，我的建议是：
- 酒店应尽快与客人取得联系并协商赔偿事宜，以避免损失进一步扩大。
- 如果客人拒绝赔偿或无法联系到客人，酒店应立即开始收集相关证据，以支持其赔偿要求。
- 在考虑通过法律途径解决时，酒店应评估诉讼的成本和收益，以及证据的充分性和可靠性等因素。
如有更多疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。