结论：寻衅滋事罪被拘留14天后，是否能取保候审需根据具体案情判断，但满足法定条件时通常可以申请。以下从法律条件、申请流程、注意事项三个角度详细说明：

一、法律条件：满足以下情形可申请取保候审

根据《刑事诉讼法》第六十七条，犯罪嫌疑人、被告人可能被取保候审的情形包括：

1. 可能判处管制、拘役或独立适用附加刑：若案件情节较轻，司法机关认为可能判处上述刑罚，可申请取保；
2. 可能判处有期徒刑以上刑罚，但采取取保不致发生社会危险性：需结合犯罪性质、情节、社会影响及嫌疑人个人情况综合判断；
3. 患有严重疾病、生活不能自理，或怀孕/正在哺乳婴儿：需提供医疗证明或生育证明；
4. 羁押期限届满，案件未办结：若拘留14天后案件未进入逮捕或起诉阶段，可申请取保。

关键点：寻衅滋事罪通常涉及随意殴打、追逐拦截、强拿硬要等行为，若情节轻微（如未造成严重后果、无前科、认罪态度好），更易满足“无社会危险性”条件。

二、申请流程：分三步操作

1. 提交申请：由嫌疑人、被告人或其法定代理人、辩护人（如您本人）向办案机关（公安机关、检察院或法院）提交书面《取保候审申请书》，需说明理由及担保方式；
2. 审查决定：办案机关在3日内作出决定，并通知申请人；
3. 执行取保：若批准，需提供保证人或缴纳保证金（保证金起点为1000元，具体由办案机关根据案情确定），并遵守《刑事诉讼法》第七十一条规定（如不得离开居住地、及时到案等）。

示例：若嫌疑人因寻衅滋事被拘留14天，但系初犯、情节轻微且已赔偿被害人并取得谅解，辩护律师可重点强调“无社会危险性”，申请取保成功率较高。

三、注意事项：这些情况可能影响取保结果

1. 累犯或前科：曾因犯罪被处罚过，取保难度增加；
2. 拒不认罪或态度恶劣：若嫌疑人否认犯罪或抗拒调查，可能被认定为“有社会危险性”；
3. 可能判处重刑：若案件情节严重（如造成多人受伤、财产损失巨大），司法机关可能认为取保后可能再犯罪或干扰证人；
4. 未履行赔偿义务：若未赔偿被害人损失或未取得谅解，可能被视为“未消除社会危害”。

建议：若家属或嫌疑人希望申请取保，应尽快委托律师介入，通过会见嫌疑人、阅卷等方式全面了解案情，制定针对性申请策略。例如，若嫌疑人因酒后滋事被拘，但已积极赔偿并写下悔过书，律师可重点提交这些材料证明其悔罪态度。

最后提醒：取保候审仅是强制措施的变更，不代表案件终结。嫌疑人仍需配合调查，等待后续诉讼程序。若您或家属涉及此类案件，可直接向我咨询具体案情及应对方案。