结论：在美容院被美容师烫伤，您确实有权起诉美容师，但具体起诉对象和责任承担方式需根据实际情况来确定。以下是从不同角度对此问题的详细分析：
一、起诉美容师个人的可能性
侵权责任角度：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。美容师在提供服务过程中，若因操作不当或疏忽大意导致您被烫伤，显然存在过错，因此您有权要求美容师承担侵权责任。
- 起诉美容师个人时，您需要证明美容师存在过错行为（如操作不当）、该过错行为与您的损害结果之间存在因果关系，以及您因此遭受了实际损失（如医疗费用、误工费、精神损害抚慰金等）。
合同违约角度（若存在服务合同）：
- 如果您与美容院之间签订了服务合同，且合同中明确约定了美容院应提供的服务内容和标准，而美容师的行为违反了这些约定，导致您被烫伤，那么您还可以从合同违约的角度要求美容院（或美容师作为美容院的员工，在职务范围内承担责任）承担违约责任。但通常在此类情况下，更侧重于从侵权责任角度追究责任。
二、起诉美容院的可能性及责任承担
雇主责任角度：
- 美容师作为美容院的员工，在提供服务过程中因执行工作任务造成他人损害的，根据《中华人民共和国民法典》的规定，由用人单位（即美容院）承担侵权责任。因此，您也可以选择直接起诉美容院，要求其承担赔偿责任。
- 在这种情况下，您无需直接证明美容师的个人过错，而是需要证明美容师是在执行工作任务过程中造成您损害的，以及您因此遭受了实际损失。
美容院与美容师共同责任：
- 在某些特殊情况下，如果美容院对美容师的管理存在严重疏忽或过错，导致美容师能够实施侵权行为，那么美容院和美容师可能需要共同承担责任。但这需要根据具体案情来判断。
三、实际操作建议
收集证据：
- 在起诉前，您需要收集相关证据来证明美容师或美容院的过错行为以及您因此遭受的损失。这些证据可能包括现场照片、视频、医疗记录、证人证言、服务合同等。
咨询专业律师：
- 由于医疗纠纷和侵权纠纷涉及复杂的法律问题和证据收集，建议您在起诉前咨询专业律师，以便更好地了解您的权利和义务，以及如何有效地维护自己的合法权益。当然，您可以直接向我咨询，我专注于医疗纠纷和侵权纠纷领域，能够为您提供专业的法律建议。
选择起诉对象：
- 根据您的具体情况和证据收集情况，您可以选择起诉美容师个人、美容院或两者共同作为被告。在选择起诉对象时，您需要考虑证据的充分性、诉讼成本以及赔偿能力等因素。
综上所述，在美容院被美容师烫伤后，您有权根据实际情况选择起诉美容师个人或美容院，并要求其承担相应的赔偿责任。在起诉前，请务必收集好相关证据并咨询专业律师的意见。