在交通事故经过司法鉴定，明确了事故责任及损害情况后，接下来您可以按照以下详细且条理清晰的步骤来申请赔偿，以确保自身权益得到妥善处理：
一、明确赔偿义务人
首先，您需要确定哪些人或机构需要承担赔偿责任。这通常包括：
- 肇事司机：作为直接导致事故发生的一方，肇事司机需承担相应的赔偿责任。
- 车辆所有人：如果车辆所有人对事故的发生存在过错，例如将车辆借给无驾照者或酒驾者，那么车辆所有人也需要承担一定的赔偿责任。
- 保险公司：如果肇事车辆投保了交强险和商业险，那么保险公司需要在保险责任范围内承担赔偿责任。交强险是强制保险，而商业险则是车主自愿购买的。
二、全面收集证据材料
为了支持您的赔偿申请，您需要收集一系列证据材料，包括但不限于：
- 事故认定证据：交警部门出具的道路交通事故责任认定书，这是确定事故责任划分的重要依据。
- 医疗相关证据：包括医院病历、诊断证明、医疗费用发票、用药清单等，以及后续治疗的相关医疗证明，用于证明您的医疗支出和伤情。
- 收入与误工证据：由工作单位出具的收入证明和误工时间证明，用于计算误工费。如果可能，附上劳动合同和工资流水等材料以增加证明力。
- 伤残鉴定报告：如果事故导致了伤残，详细的伤残鉴定报告是计算残疾赔偿金的重要依据。
- 财物损失证据：购物发票或物价部门出具的财物损失评估报告，用于证明财物损坏的价值。
- 其他辅助证据：如事故现场照片、视频、目击证人证言等，这些证据可以进一步支持您的事故经过和损失情况。
三、尝试协商调解
在收集好证据材料后，您可以尝试与赔偿义务人进行协商调解：
- 计算赔偿金额：根据法律法规和司法鉴定结果，详细列出赔偿项目和金额，包括医疗费、误工费、残疾赔偿金、财物损失等。
- 进行协商：与对方或其保险公司沟通，提出合理的赔偿要求，并提供充分证据支持。在协商过程中，保持理性和冷静，明确赔偿项目和金额，避免情绪化的争执。
四、准备法律诉讼（若协商不成）
如果协商调解未能达成一致，您可以准备法律诉讼来维护自己的权益：
- 确定管辖法院：一般为事故发生地或被告住所地人民法院。
- 准备诉讼材料：包括民事起诉状、证据清单及所有相关证据材料。确保诉讼材料完整、准确，并按照法院的要求进行整理和装订。
- 正式立案：向法院提交诉讼材料并缴纳诉讼费用，等待法院受理。在立案过程中，您可能需要配合法院进行一些补充材料的提交或说明。
五、积极参与诉讼过程
一旦法院受理了您的案件，您需要积极参与诉讼过程：
- 参加庭审：按时到庭，陈述事实理由，提交证据，参与质证和辩论。在庭审过程中，保持冷静理性，尊重法官和对方当事人，清晰、准确地表达自己的观点和诉求。
- 遵守法庭纪律：在庭审过程中，遵守法庭纪律，不随意打断他人发言，不进行与案件无关的讨论或行为。
六、执行判决与后续处理
如果法院作出了有利于您的判决，但对方未主动履行判决义务，您可以采取以下措施：
- 等待判决生效：在判决作出后，等待判决生效。如果对方在规定时间内未提起上诉或抗诉，判决将生效。
- 申请执行：在判决生效后，如果对方仍未履行赔偿义务，您可以在规定时间内向法院申请强制执行。法院将采取强制措施来确保赔偿款的支付，包括但不限于查封、扣押、拍卖财产等。
七、专业法律咨询贯穿全程
在整个赔偿申请过程中，我建议您咨询专业律师以确保权益得到充分保护。律师的专业知识和经验将帮助您更准确地理解法律程序，更有效地处理赔偿事宜。他们可以为您提供法律咨询、代理诉讼等服务，确保您的权益得到最大程度的维护。
综上所述，交通事故司法鉴定后的赔偿申请是一个涉及多个法律知识点和实际操作步骤的复杂过程。通过明确赔偿义务人、全面收集证据、积极协商调解以及必要时准备法律诉讼等措施，您可以最大程度地保障自己的合法权益。