结论：打牌偷牌被抓后被敲诈赔钱，是否构成犯罪需分情况讨论，可能涉及敲诈勒索罪或治安管理处罚，同时偷牌行为本身也可能违法。以下为具体分析：
一、敲诈赔钱方的行为定性
若敲诈赔钱方以非法占有为目的，使用威胁或要挟方法：
- 法律定性：根据《中华人民共和国刑法》第二百七十四条，敲诈勒索公私财物，数额较大或者多次敲诈勒索的，构成敲诈勒索罪。在此情况下，敲诈赔钱方的行为可能构成敲诈勒索罪。
- 数额与次数标准：敲诈勒索公私财物价值二千元至五千元以上，或者多次敲诈勒索的，应认定为“数额较大”或“多次敲诈勒索”，从而构成犯罪。具体数额标准可能因地区而异，需参照当地司法解释。
若敲诈赔钱方虽使用威胁或要挟方法，但情节轻微，未达到犯罪标准：
- 法律定性：根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第四十九条，敲诈勒索公私财物的，处五日以上十日以下拘留，可以并处五百元以下罚款；情节较重的，处十日以上十五日以下拘留，可以并处一千元以下罚款。在此情况下，敲诈赔钱方的行为可能仅构成治安违法，受到行政处罚。
二、偷牌方的行为定性
- 法律定性：偷牌行为本身可能构成盗窃或诈骗的未遂或预备行为，具体取决于偷牌的方式和目的。若偷牌是为了在赌博中作弊，还可能涉及赌博作弊的违法行为。
- 法律后果：虽然偷牌行为本身可能不直接导致刑事责任，但若因此引发纠纷或冲突，偷牌方可能需承担相应的民事责任或行政责任。同时，若偷牌行为被认定为赌博作弊，还可能受到赌博相关法律的处罚。
三、综合分析与建议
对于敲诈赔钱方：
- 若其行为构成敲诈勒索罪，将面临刑事处罚，包括有期徒刑、拘役或管制，并可能并处罚金。
- 若其行为仅构成治安违法，将受到行政处罚，包括拘留和罚款。
- 建议：敲诈赔钱方应立即停止违法行为，主动退还非法所得，并寻求法律帮助以减轻或避免法律责任。
对于偷牌方：
- 偷牌行为虽可能不直接导致刑事责任，但可能引发其他法律后果，如民事赔偿或行政处罚。
- 若偷牌行为被认定为赌博作弊，还将面临赌博相关法律的处罚。
- 建议：偷牌方应认识到自身行为的违法性，主动放弃偷牌行为，并遵守法律法规。若已因此引发纠纷或冲突，应积极配合调查，寻求法律帮助以维护自身权益。
对于双方：
- 在处理此类纠纷时，双方应保持冷静，避免采取过激行为导致事态升级。
- 建议：双方可寻求法律帮助，通过协商、调解或诉讼等方式解决纠纷。在处理过程中，应尊重法律程序，配合调查取证工作，以便依法维护自身权益。
最后，打牌偷牌被抓后被敲诈赔钱是否构成犯罪，需根据具体情况判断。若您或他人涉及此类纠纷，请直接向我咨询，我将根据具体情况提供专业的法律建议。