被刑事拘留的人在整个刑事诉讼过程中均可申请取保候审，但并无固定的天数限制，其批准与否取决于多种因素的综合考量。以下是对此问题的详细分析：
一、取保候审的申请时机
侦查阶段：
- 犯罪嫌疑人被刑事拘留后，其家属或辩护人应尽快向公安机关提出取保候审申请。特别是在被拘留后的37天内（即公安机关提请检察院审查批准逮捕前），此阶段申请取保候审相对容易获得批准。因为一旦检察院批准逮捕，后续取保候审的难度会增大。
审查起诉阶段：
- 案件移送人民检察院审查起诉后，犯罪嫌疑人及其法定代理人、近亲属或辩护人仍可向检察机关申请取保候审。检察机关会综合考量案件证据、犯罪嫌疑人的社会危险性等因素作出决定。
审判阶段：
- 在法院审理案件过程中，被告人及其法定代理人、近亲属或辩护人同样有权申请取保候审。法院会根据被告人的具体情况，如可能判处的刑罚、是否具有社会危险性等，来判断是否准许申请。
二、取保候审的法定条件
根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条的规定，符合以下条件的犯罪嫌疑人、被告人可以申请取保候审：
- 可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
- 可能判处有期徒刑以上刑罚，但采取取保候审不致发生社会危险性的；
- 患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，且采取取保候审不致发生社会危险性的；
- 羁押期限届满，案件尚未办结，需要继续采取取保候审措施的。
三、取保候审的审批因素
办案机关在决定是否准许取保候审时，会综合考虑以下因素：
- 案情：包括犯罪的性质、情节、社会危害性等；
- 证据情况：证据的充分性、可靠性等；
- 犯罪嫌疑人的社会危险性：如是否有再犯风险、是否可能干扰证人作证、毁灭证据等；
- 其他因素：如犯罪嫌疑人的身体状况、家庭情况等。
四、建议与注意事项
- 尽早申请：由于取保候审的申请与审批受到多种因素的影响，建议尽早委托专业律师介入案件，以便更好地维护被拘留人的合法权益，提高取保候审的成功率。
- 提供有效担保：在申请取保候审时，提供有效的担保人或交纳保证金可以增加取保候审的成功率。
- 遵守取保候审规定：如果获得取保候审，犯罪嫌疑人必须遵守取保候审的规定，如不得离开指定的居住地、不得干扰证人作证等。否则，可能会被撤销取保候审并重新收押。
举例说明：假设张三因涉嫌盗窃罪被刑事拘留，其家属在拘留后的第5天委托律师申请取保候审。由于案件情节较轻，张三无逃避侦查、起诉和审判的行为，且无继续危害社会的可能，同时提供了有效的担保人，因此取保候审的申请获得了批准。
总之，被刑事拘留的人申请取保候审并无固定的天数限制，但应尽早申请并满足法定条件。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。