在父亲去世而母亲仍然健在的情况下，关于如何继承其存款，这是一个涉及法律程序和家庭财务规划的重要问题。以下是根据《中华人民共和国民法典》及相关法律规定，提供的详细解答：

一、明确存款性质与遗产范围

首先，要确定父亲的存款是属于夫妻共同财产还是个人财产。如果是婚姻期间积累的存款，一般属于夫妻共同财产，其中一半自然归母亲所有，另一半则作为父亲的遗产进行分配。若存款是父亲婚前拥有或有明确约定为个人所有，则全部作为遗产处理。

二、确定继承方式

1. 遗嘱继承：

   • 如果父亲生前立有合法有效的遗嘱，并且明确安排了存款的继承方式，那么应当严格遵循遗嘱执行。

2. 法定继承：

   • 在没有遗嘱或遗赠扶养协议的情况下，按照法定继承顺序进行。此时，母亲作为配偶，是法定的第一顺序继承人之一。

三、法定继承顺序与份额

• 继承顺序：

  • 第一顺序包括配偶（即母亲）、子女、父母（若在世）。
  • 第二顺序为兄弟姐妹、祖父母、外祖父母，但在第一顺序继承人存在时，他们不参与继承。

• 继承份额：

  • 同一顺序的继承人原则上应当均等分配遗产。
  • 特殊情况下，如生活有特殊困难、缺乏劳动能力或对被继承人尽了主要扶养义务的继承人，可以适当多分；反之，不尽扶养义务的继承人可能不分或少分。

四、办理继承手续

1. 准备必要的证明材料：

   • 包括父亲的死亡证明（由公安机关出具）以及亲属关系证明（可由单位、居委会或村委会出具）。

2. 进行继承公证：

   • 前往当地公证处办理继承公证手续，以确认继承人的身份及遗产的范围。

3. 银行手续：

   • 继承人需携带继承公证书、身份证等有效证件到银行办理存款的支取或转移手续。部分银行对于小额存款可能有简化的处理流程，建议提前咨询相关银行以了解具体规定。

五、特殊情况处理

• 继承争议：
  • 如果继承人之间对存款的继承存在争议，首先应当尝试通过协商或调解的方式解决。
  • 如果无法达成一致意见，可以通过向人民法院提起诉讼来寻求法律裁决。法院将依据相关法律规定进行判决，以确保继承的合法性和公正性。

综上所述，处理父亲去世后的存款继承问题需要遵循一定的法律程序和家庭财务规划原则。通过明确存款性质、确定继承方式、了解继承顺序与份额以及办理相关手续等步骤，可以确保继承过程的合法性和公正性。同时，在遇到争议时，应当通过法律途径寻求解决方案。