进入拘留场所14天后申请取保候审的可能性无法直接判断，需结合具体案情、证据情况、社会危险性等多方面因素综合评估。以下从不同角度展开分析：

1. 案件性质与情节
   若案件涉及轻微刑事犯罪（如初犯、偶犯、过失犯罪），且情节显著轻微、危害不大，或存在自首、立功、认罪认罚等法定从宽情节，取保候审的可能性较高。反之，若案件涉及严重暴力犯罪、团伙犯罪、多次犯罪或社会影响恶劣，取保候审的难度会显著增加。

2. 证据充分性
   若案件证据已基本固定，犯罪嫌疑人无毁灭、伪造证据或串供的风险，且不存在继续危害社会的可能性，司法机关可能倾向于批准取保候审。若证据尚未完善或存在关键证据缺失，司法机关可能认为取保候审会妨碍侦查，从而拒绝申请。

3. 社会危险性评估
   司法机关会重点审查犯罪嫌疑人是否可能实施新的犯罪、是否可能干扰证人作证或毁灭证据、是否有自杀或逃跑风险等。若犯罪嫌疑人具备固定住所、稳定工作、家庭羁绊等条件，且无前科劣迹，取保候审的可能性较大；若存在潜逃、再犯罪风险，则难以获批。

4. 程序阶段与司法实践
   拘留期限届满前，公安机关需向检察机关提请批准逮捕。若检察机关认为证据不足或社会危险性较低，可能作出不批准逮捕决定，此时犯罪嫌疑人将被取保候审或监视居住。此外，不同地区司法机关对取保候审的把握标准存在差异，需结合当地实践综合判断。

建议：若您或家属涉及此类情况，需尽快委托律师介入，通过会见犯罪嫌疑人、查阅案卷材料、与办案机关沟通等方式，全面评估案件情况并制定辩护策略。如有进一步法律问题，可直接向我咨询。