在特殊情况下，当事人有权向审判长提出尽早下达判决书的请求，但能否尽快出判决还需结合法院审理案件的法定程序和时限来综合判断。以下是对此问题的详细分析：
一、可以提出尽早下达判决书请求的特殊情况
当事人身体状况：
- 若当事人身患重病，生命垂危，希望在生前看到判决结果，以便安排后事或处理相关事宜。
- 或因健康原因无法长时间等待，急需依据判决进行下一步治疗安排，如手术、化疗等。
经济状况紧迫：
- 案件涉及重大经济利益，当事人因诉讼长期悬而未决而面临严重经济困境。例如，小微企业主因资金冻结面临破产危机，急需判决解冻资金以维持企业运营。
- 当事人因诉讼耗尽积蓄，生活难以为继，急需判决结果以获取赔偿或解决生活困难。
期限临近：
- 案件涉及时效性强的权利，如专利纠纷中专利即将到期，判决结果将直接影响专利权的归属和后续使用。
- 合同纠纷中关键履行期限即将届满，判决结果将决定合同是否继续履行或解除，以及违约责任的承担。
其他紧急事由：
- 当事人即将出国定居、工作，且判决结果对其行程和未来生活有重大影响。例如，需要判决结果以办理签证、移民手续或解决海外财产纠纷。
- 因不可抗力事件（如自然灾害、战争等）可能导致证据灭失或当事人情况发生重大改变，急需判决以固定事实、明确责任。
二、提出请求的方式与方法
合理表达意愿：
- 当事人可以通过联系案件的书记员询问案件进展情况，或在适当场合委婉地向审判长表达希望尽快得到判决的诉求。
- 表达时需保持理性、礼貌的态度，避免情绪化或过激言辞。
遵循法定程序：
- 催促方式应合理合法，避免频繁打扰法官工作，更不能以威胁、侮辱等不当方式进行催促。
- 建议通过电话联系法官办公室或按照法院规定进行预约面谈，以便更正式、有效地沟通。
尊重法院工作：
- 理解法院审理案件需要时间和程序，法官需在确保案件事实清楚、证据充分、适用法律正确的基础上作出公正判决。
- 保持耐心和理性态度，不要因急于求成而给法官施加过大压力。
三、理解法院审理程序与时限
法定程序与时间要求：
- 法院审理案件有严格的法定程序和时间要求，包括立案、审理、判决等各个环节。
- 法官需在法定审限内完成案件审理，但具体审限因案件类型、复杂程度等因素而异。
审限规定与特殊情况：
- 虽然存在审限规定，但案件复杂性、新法律问题需要研究等因素可能导致案件不能按时审结。
- 在特殊情况下，如涉及国家安全、重大社会影响等案件，法院可能会延长审限或采取其他特殊措施。
监督途径：
- 如果法官超出审限仍未作出判决，当事人可以向法院的纪检监察部门或上级法院反映情况，要求对案件审理期限进行监督。
- 但需注意，监督途径并非直接促使法官尽快判决的手段，而是确保案件审理合法、公正的保障措施。
总结与建议：在特殊情况下，当事人有权向审判长提出尽早下达判决书的请求，但需遵循合理、合法的方式，并充分理解法院审理案件的法定程序和时限。通过合理表达意愿、遵循法定程序以及尊重法院工作，当事人可以增加获得尽快判决的可能性。同时，也应理解法院工作的复杂性和不确定性，保持耐心和理性态度。如有任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。