非法运输卷烟的驾驶员，若构成犯罪，将可能依据具体情节被处以不同年限的有期徒刑、拘役，并处或单处罚金等处罚。具体分析如下：

一. 非法运输卷烟的处罚依据

1. 依据相关法律法规：非法运输卷烟的行为可能触犯《中华人民共和国刑法》中关于非法经营罪或走私普通货物、物品罪的规定。若构成犯罪，将依据具体情节进行处罚。

二. 可能的处罚情况

1. 非法经营罪：若驾驶员非法运输卷烟的行为被认定为非法经营罪，根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，可能面临以下有期徒刑、拘役，并处或单处罚金的处罚。具体刑期和罚金数额需根据案件的具体情节，如非法运输的卷烟数量、价值、犯罪手段等来确定。
2. 走私普通货物、物品罪：若驾驶员的行为构成走私普通货物、物品罪，根据该罪名的相关规定，也将面临相应的有期徒刑、拘役，并处或单处罚金的处罚。同样，具体刑期和罚金数额需根据走私的卷烟数量、价值、走私方式等情节来确定。

三. 实际案例

• 例如，某驾驶员非法运输了大量卷烟，被查获后，根据其非法运输的卷烟数量、价值以及犯罪情节，法院最终判决其构成非法经营罪，判处有期徒刑并处罚金。

我建议您，作为驾驶员，应严格遵守相关法律法规，不得非法运输卷烟或其他违禁物品。如有进一步需要，您可以继续咨询我。