当您的房屋租赁合同丢失后，确实是可以采取一些措施来补办的，其中向房东请求复印其留存的那份合同是一种可行的方式。以下是对此问题的详细分析及建议：
一、合同补办的方式
与房东重新签订：
- 如果可能，您与房东可以协商重新签订一份内容相同的租赁合同。新合同应详细列明租赁双方的基本信息、租赁房屋的具体情况、租赁期限、租金及支付方式、双方权利义务等关键条款，并由双方签字确认。这样，新合同即具备与原合同同等的法律效力。不过，这种方式可能需要双方都投入一定的时间和精力。
复印房东留存合同：
- 另一种更为简便的方式是请求房东提供其留存的那份租赁合同的复印件。为了确保复印件的证明效力，您可以建议房东在复印件上注明“此复印件与原件一致”并签字确认。这样，复印件在法律上就可以被视为具有与原件相似的证明力。
通过中介复印存档合同：
- 如果您的租赁合同是通过房屋中介签订的，那么您还可以凭借相关身份信息和租赁业务证明，向中介请求提供合同复印件。正规的中介公司通常会对经手的租赁合同进行存档备案，因此可以提供准确的复印件。为了增强复印件的权威性，您还可以要求中介在复印件上加盖公司公章。
二、其他证明租赁关系的证据
- 即使租赁合同丢失且无法补办，您仍然可以通过其他证据来证明租赁关系的存在。这些证据包括但不限于租金支付凭证（如银行转账记录）、双方聊天记录（如微信、短信等）、水电费缴纳记录等。这些证据可以在一定程度上证明您与房东之间的租赁关系。
三、法律建议与预防措施
及时补办：
- 无论您还是房东丢失了合同，都应尽快采取措施进行补办。这不仅可以确保合同的法律效力和双方的权益不受影响，还可以避免因合同丢失而引发的潜在法律纠纷。
妥善保管：
- 在签订合同时，建议您和房东都妥善保管好合同原件。可以将合同存放在安全、易取的地方，并定期进行检查和整理。这样可以有效避免合同遗失或损坏的风险。
增强法律意识：
- 了解并熟悉租赁合同的相关法律法规对于维护自身权益具有重要意义。在遇到问题时，您可以及时咨询专业律师或法律机构以获取准确的法律建议和帮助。
综上所述，当您的房屋租赁合同丢失后，您可以向房东请求复印其留存的那份合同作为补办方式之一。同时，为了确保合同的法律效力和双方的权益不受影响，建议您及时采取补办措施并妥善保管好合同原件。