自然资源部门对违章建筑立案后，拆除违章建筑的责任部门并不直接是自然资源部门本身，而是根据违章建筑的具体情况和所在区域，由不同的部门负责拆除。以下是对此问题的详细分析：
城市规划区内：
- 在城市规划区内，若违章建筑涉及非法占用土地等问题，自然资源部门会进行监管和查处，可能要求拆除并恢复土地原状。但实际的拆除工作，往往由城市管理综合行政执法部门（城管）或规划部门负责。城管部门在许多城市被赋予了对违法建设（违章建筑）的查处权，包括责令停止建设、限期拆除等。而规划部门则可能对涉及规划布局等方面的违章建筑问题进行认定和处置。
乡、村庄规划区内：
- 在乡、村庄规划区内，对于未依法取得乡村建设规划许可证或未按许可证规定建设的违章建筑，由乡、镇人民政府负责查处和拆除。他们有权责令停止建设、限期改正，逾期不改正的，可以拆除。
特殊情况：
- 若违章建筑位于河道管理范围内，影响行洪安全，则由水利部门负责查处并要求拆除。
- 对于公路建筑控制区内的违章建筑，交通运输部门可依法进行查处并要求拆除，以保障公路安全和正常使用。
跨部门联合行动：
- 在具体执行拆除工作时，往往会涉及多部门联合行动。例如，县级以上地方人民政府城乡规划主管部门在责令停止建设、限期拆除后，若当事人不配合，可由县级以上人民政府责成有关部门采取查封施工现场、强制拆除等措施。这确保了拆除工作的依法、有序进行。
法律背景与建议：
- 根据《中华人民共和国城乡规划法》第六十四条和第六十五条，以及《中华人民共和国土地管理法》第七十七条等相关规定，不同部门在不同区域内对违章建筑具有查处和拆除的职责。
- 面对违章建筑问题，建议您首先明确违章建筑的具体性质、所属区域及适用的法律法规。然后，咨询当地的相关部门或法律专业人士（如我本人），以了解相关部门的具体职责和执法程序。
- 在处理过程中，应遵守相关法律法规，积极配合政府部门的执法工作。若对拆除决定有异议，可依法申请行政复议或提起行政诉讼。
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