欧亚超市作为商业经营主体，对偷窃行为的处罚需严格遵循法律规定，主要分为行政处罚与刑事处罚两类，具体处理方式如下：

1. 行政处罚（一般盗窃行为）
   根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第四十九条，盗窃公私财物的，处五日以上十日以下拘留，可以并处五百元以下罚款；情节较重的（如多次盗窃、数额较大但未达刑事标准），处十日以上十五日以下拘留，可以并处一千元以下罚款。

   • 超市角色：发现盗窃后，超市有权要求行为人归还财物，并可向公安机关报案，由警方依法处理。
     
   • 注意事项：超市无权自行实施罚款、拘禁等处罚，否则可能涉嫌非法拘禁或侵犯公民人身权利。
     

2. 刑事处罚（构成盗窃罪的情形）
   根据《中华人民共和国刑法》第二百六十四条，盗窃公私财物数额较大（通常为1000元至3000元以上，具体标准因地区而异），或多次盗窃、入户盗窃、携带凶器盗窃、扒窃的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金；数额巨大或有其他严重情节的，处三年以上十年以下有期徒刑，并处罚金。

   • 超市角色：若盗窃行为涉嫌犯罪，超市应立即报警，由公安机关立案侦查，超市需配合提供监控录像、证人证言等证据。
     
   • 注意事项：刑事处罚由司法机关依法判决，超市无权直接决定或实施。
     

3. 超市内部管理措施

   • 禁止入内：超市可依据《消费者权益保护法》及店内规定，对有盗窃行为的人员作出短期或长期禁止入内的决定，但需以书面形式告知并说明理由。
     
   • 要求赔偿：若盗窃行为导致超市财物损坏或产生其他损失，超市可要求行为人赔偿实际损失，但赔偿金额需以实际损失为限，不得额外惩罚。
     

总结：欧亚超市对偷窃行为的处理必须依法进行，行政处罚由公安机关执行，刑事处罚由司法机关判决，超市仅能通过报警、配合调查及内部管理措施维护权益。若您或他人涉及此类纠纷，可直接向我咨询具体法律应对方案。