针对您提出的“案件执行阶段，被告人身患重大疾病，怎么减免罚金”的问题，以下是我为您提供的详细解答：

首先，我们需要明确的是，根据《中华人民共和国刑法》第五十三条的规定，罚金在判决指定的期限内需要一次或者分期缴纳。如果期满不缴纳，人民法院会进行强制缴纳。但是，如果由于遭遇不能抗拒的灾祸，导致缴纳确实有困难的，人民法院可以酌情减少或者免除罚金。

具体到您的情况，即被告人身患重大疾病，这属于《最高人民法院关于适用财产刑若干问题的规定》第六条中提到的“罪犯因重病、伤残等而丧失劳动能力”的情形。如果因此导致被告人确实没有财产可供执行罚金，那么被告人或其亲属可以向负责执行的人民法院提出书面申请，并提供相应的证明材料，如医疗证明、诊断报告等，以证明被告人因重病而丧失劳动能力，且确实没有财产可供执行。

人民法院在收到申请后，会进行审查。审查的内容主要包括申请人的身份、申请的理由是否充分、提供的证明材料是否真实有效等。如果人民法院认为申请理由成立，且提供的证明材料真实有效，那么会根据实际情况，裁定减少或者免除应当缴纳的罚金数额。

需要注意的是，减免罚金并不是一件容易的事情，需要满足一定的条件，并提供充分的证明材料。同时，即使申请减免罚金，也需要经过人民法院的审查和裁定，不能确保一定能够减免成功。

因此，我建议您或被告人的亲属尽快与负责执行的人民法院联系，了解具体的申请流程和所需材料，并按照要求准备和提交申请。同时，也可以咨询专业的法律人士，以获取更详细和专业的建议。