要证明邻居与母亲同住，可以从以下几个方面收集和提供证据：

1. 居住证明类证据：

   • 居委会或村委会证明：如果邻居与母亲居住在同一社区或村庄，可以向当地的居委会或村委会申请开具居住证明，证明两人长期共同居住在同一地址。
   • 物业证明：如果居住在有物业管理的小区，物业管理部门也可能提供居住情况的证明，比如通过查看物业费缴纳记录、水电费缴纳记录等间接证明居住情况。
   • 租房合同或房产证明：如果邻居是租住母亲的房屋，租房合同可以作为直接证据；如果是母亲自己的房产，房产证明结合其他居住痕迹（如共同生活的照片、视频等）也可以作为辅助证据。

2. 日常生活类证据：

   • 共同生活照片或视频：拍摄或收集邻居与母亲共同生活的照片或视频，如一起用餐、散步、参加社区活动等，这些都能直观证明两人共同居住的事实。
   • 购物小票或消费记录：如果邻居与母亲经常一起购物，保留相关的购物小票或消费记录，特别是那些显示两人同时出现在同一地点的记录。
   • 邻居或亲友的证言：邀请了解情况的邻居或亲友出具书面证言，证明他们看到邻居与母亲长期共同居住。

3. 通信记录类证据：

   • 电话、短信或微信聊天记录：如果邻居与母亲之间有频繁的通信记录，特别是那些涉及日常生活安排、共同活动的记录，也可以作为证明共同居住的辅助证据。
   • 邮件或信件：如果两人之间有通过邮件或信件交流的习惯，这些通信记录同样可以作为证据。

在收集证据时，需要注意以下几点：

• 证据的真实性：确保所有提供的证据都是真实、合法的，没有经过篡改或伪造。
• 证据的关联性：证据需要与要证明的事实（即邻居与母亲同住）直接相关，能够直接或间接证明这一事实。
• 证据的充分性：尽量收集多方面的证据，形成完整的证据链，以增加证明力。

如果涉及法律纠纷，如赡养费纠纷、房产纠纷等，这些证据可能起到关键作用。在收集和使用证据时，建议咨询专业律师（即我本人，梁升律师，专注于婚姻家庭领域），以确保证据的合法性和有效性。如果有任何法律问题，也可以直接向我咨询。