结论：刑事拘留一个月后按治安处罚法拘留并罚款，能否要求国家赔偿需分情况讨论，并非绝对可以或不可以。
分析如下：
一、符合国家赔偿条件的情形
根据《国家赔偿法》及相关司法解释，若刑事拘留存在以下违法情形，被拘留人有权申请国家赔偿：
超期羁押：刑事拘留时间超过刑事诉讼法规定的时限（一般为37天，特殊情况可延长），且后续决定撤销案件、不起诉或判决宣告无罪终止追究刑事责任的。例如，若刑事拘留实际持续40天，而第38天时侦查机关已发现错误并撤销案件，则超期的3天可能构成违法羁押，被拘留人可就超期部分申请赔偿。
无罪或证据不足：若刑事拘留后，案件因证据不足、事实不清或法律适用错误被撤销、不起诉或判决无罪，且拘留措施缺乏合法依据，被拘留人可申请赔偿。例如，若拘留基于错误指控，后经审查发现指控不成立，则拘留可能被认定为违法。
程序违法：若刑事拘留过程中存在程序违法，如未出示拘留证、未告知权利义务、未及时通知家属等，且该违法程序与拘留结果存在因果关系，被拘留人可主张赔偿。
二、不符合国家赔偿条件的情形
若刑事拘留符合以下条件，则被拘留人无权申请国家赔偿：
合法拘留：若刑事拘留严格依照刑事诉讼法规定的条件和程序进行，且后续案件进入诉讼程序（如起诉、判决有罪），则拘留属于合法羁押，不产生国家赔偿。例如，若拘留基于充分证据且程序合法，后经审判认定犯罪成立，则拘留合法。
治安处罚的合法性：若刑事拘留后转为治安处罚（如拘留并罚款），且该处罚决定合法（如有充分证据证明违法行为、程序合法），则被处罚人无权就治安处罚部分申请国家赔偿。治安处罚与刑事拘留是两种不同性质的法律措施，其合法性需独立判断。
因果关系断裂：若刑事拘留与后续治安处罚之间无直接因果关系，或治安处罚是基于新的违法行为作出，则被处罚人无权就刑事拘留部分申请赔偿。例如，若拘留后发现新的治安违法行为并处罚，则处罚与拘留无关。
三、申请国家赔偿的程序
若符合国家赔偿条件，被拘留人可按以下程序申请赔偿：
提交申请：向赔偿义务机关（一般为作出拘留决定的公安机关或检察机关）提交书面赔偿申请，说明赔偿请求、事实理由和证据。
机关审查：赔偿义务机关应自收到申请之日起两个月内作出是否赔偿的决定，并书面通知申请人。
复议或诉讼：若对决定不服，可向上一级机关申请复议，或直接向人民法院赔偿委员会申请作出赔偿决定。
建议：若您或他人遭遇此类情况，建议及时收集证据（如拘留证、释放证明、案件撤销决定等），并咨询专业律师以准确判断是否符合国家赔偿条件。如有具体案情或疑问，可直接向我咨询。