行政拘留通知之后在一年内执行是可以的，但需根据具体情况判断其合法性与合理性。以下从不同角度进行详细分析：
一、法律层面分析
行政拘留决定的法律效力：
- 行政拘留处罚决定一旦作出，即具备法律效力，不会因时间推移而失效。只要处罚决定未被依法撤销，公安机关就有权在合适时间对被处罚人执行拘留。
执行时效的法律规定：
- 我国法律并未明确规定行政拘留的执行时效，即没有规定必须在多长时间内执行完毕。因此，从法律层面讲，行政拘留一年后依然可以执行。
二、实际操作层面分析
执行时的考虑因素：
- 在实际操作中，如果距离处罚决定作出已过去较长时间，公安机关执行时可能会考虑一些因素，如确认被处罚人的身份和下落，这需耗费一定精力与时间去查找。
- 同时，执行时要遵循法定程序，保障被处罚人的合法权益。若执行过程中存在不可抗力等特殊情况导致无法及时执行，也需有相应记录与说明。
执行延迟的可能原因：
- 执行延迟可能由于多种原因，如被处罚人逃避执行、公安机关工作疏忽或资源有限等。在疫情等特殊情况下，也可能因防控需要而暂时无法执行。
三、法律后果与建议
被处罚人的权利：
- 被处罚人及其家属有权就拘留延迟执行向上级机关或监督部门提出申诉、申请复议，要求审查拘留决定的合法性及延迟执行的合理性。
- 若经审查认定存在违法或不合理情形，执行机关可能需承担相应责任，如撤销拘留决定、进行国家赔偿等。
对被处罚人的建议：
- 在面临拘留延迟执行问题时，建议被处罚人及时了解自身权益和可能的法律途径，如咨询律师或相关法律机构。
- 同时，被处罚人应积极配合公安机关的执行工作，避免逃避执行或采取其他不当行为。
对公安机关的建议：
- 公安机关应加强对拘留执行程序的管理和监督，确保执法的公正性、效率性和权威性。
- 在执行延迟时，应及时向被处罚人及其家属说明原因，并记录在案，以备后续审查。
总结来看，行政拘留通知之后在一年内执行是合法的，但执行时会受多种实际因素影响。被处罚人和公安机关都应依法行事，确保法律秩序和当事人合法权益得到妥善维护。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。