员工在休息日自杀，公司是否会赔偿需根据具体情况判断。以下是从不同角度进行的分析：
公司存在过错或违法行为的情况
- 工作环境或管理因素导致心理压力过大：如果公司存在严重的加班文化，使员工长期处于高强度、高压力的工作状态，且未提供合理的心理疏导或减压措施，导致员工患上严重心理疾病并最终自杀，公司可能因管理不善、侵犯员工合法权益而被认定存在过错，需承担相应赔偿责任。这种情况下，公司需根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，对员工的死亡承担一定的民事责任。
- 公司对员工的歧视、霸凌等行为：若员工在公司遭受歧视、霸凌等不公平对待，公司未能及时发现和处理，导致员工心理受到严重伤害而选择自杀，公司同样可能需承担责任。公司因未能履行保护员工免受欺凌和歧视的义务而构成过错，需对员工的死亡承担相应的法律责任。
公司不存在过错的情况
- 个人原因导致的自杀：若员工自杀是由于其个人的情感问题（如失恋、家庭矛盾等）、经济问题（如个人债务危机等）或自身的精神疾病（如患有严重抑郁症但未告知公司且与工作无关）等因素引起，且公司在管理和工作安排等方面不存在过错，那么公司一般不需要承担赔偿责任。自杀行为属于个人行为，并非因工作原因受到的伤害，因此无法认定为工伤，也就不能获得工伤赔偿。
法律建议与后续行动：
- 收集证据：如果员工家属认为公司存在过错并要求赔偿，应首先收集相关证据，如公司的工作安排记录、员工的工作压力表现、公司对员工心理问题的处理情况等，以证明公司的过错或违法行为与员工自杀之间的因果关系。
- 法律途径：家属可以通过向法院提起民事诉讼的方式，要求公司承担相应的赔偿责任。在诉讼过程中，法院将根据具体事实和证据来判定公司是否应当承担赔偿责任以及赔偿的具体金额。
- 专业咨询：由于每个具体的案例都有其独特性和复杂性，建议在处理此类问题时，尽快寻求专业的法律咨询和帮助，以便更准确地了解自身权益和可能的赔偿途径。
总结：员工在休息日自杀，公司是否会赔偿取决于公司是否存在过错或违法行为。如果公司存在过错，如工作环境或管理因素导致心理压力过大、对员工的歧视或霸凌等行为，公司可能需要承担赔偿责任。如果员工自杀纯属个人原因，且公司无过错，则公司通常无需赔偿。在处理此类问题时，建议家属收集相关证据，并通过法律途径维护自身权益。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。