在法庭审理过程中，若法院建议检察院补充起诉，检察院应当根据具体情况作出相应处理，具体处理方式如下：

1. 审查建议的合理性：

   • 检察院首先需要对法院提出的补充起诉建议进行审查，判断该建议是否基于充分的证据和合理的法律推理。这包括分析法院建议补充起诉的事实依据是否充分，以及这些事实是否构成犯罪或影响定罪量刑。

2. 决定是否补充起诉：

   • 若认为需要补充起诉：检察院应当按照法院的建议，对遗漏的罪行或犯罪事实进行补充侦查，并在查明事实后，依法向法院提起补充起诉。补充起诉时，检察院应提交新的起诉书，明确补充起诉的犯罪事实和法律依据。
   • 若认为不需要补充起诉：检察院可以作出不予补充起诉的决定，并应当向法院说明理由。这通常发生在检察院认为法院建议补充起诉的事实不成立，或者该事实对案件的定罪量刑没有实质性影响的情况下。

3. 遵循法定程序：

   • 无论检察院决定补充起诉还是不予补充起诉，都应当严格遵循法定程序。这包括确保补充起诉或不予补充起诉的决定符合刑事诉讼法的规定，以及及时通知相关当事人和法院。

4. 保障当事人权利：

   • 在处理法院建议补充起诉的过程中，检察院应当充分保障当事人的诉讼权利，包括被告人的辩护权、知情权等。这有助于确保案件的公正审理和当事人的合法权益得到保护。