关于您提出的“案件进展询问函的法律依据”这一问题，这主要涉及到我国刑事诉讼中的立案监督与案件信息通报制度。以下是我为您整理的详细法律依据和解释：

一、主要法律依据

1. 《最高人民检察院、公安部关于刑事立案监督有关问题的规定(试行)》

该规定由最高人民检察院和公安部联合发布，旨在加强和规范刑事立案监督工作。其中，明确规定了人民检察院对公安机关立案活动的监督职责，以及公安机关应配合人民检察院进行立案监督的义务。这包括公安机关应及时审查案件或犯罪线索，并依法作出立案或不予立案的决定；同时，公安机关与人民检察院应建立刑事案件信息通报制度，定期相互通报刑事发案、报案、立案、破案等情况。

1. 《公安部关于改革完善受案立案制度的意见》

该意见由公安部发布，旨在改革完善受案立案制度，解决群众反映强烈的受案立案突出问题。其中，明确提出了健全接报案登记制、规定受案立案审查期限等措施，以确保案件能够得到及时、有效的处理。同时，该意见也强调了公安机关应依托信息化手段，对接报案、受案立案进行全要素、全流程网上记载，以实现对各部门受案立案工作的实时监控管理和及时纠错。

二、案件进展询问函的法律依据

在刑事诉讼过程中，当事人或其法定代理人、近亲属等有权了解案件的进展情况。虽然直接的“案件进展询问函”并未在上述法规中明确提及，但根据刑事诉讼的公开透明原则和立案监督制度，当事人可以通过合法途径向公安机关或人民检察院查询案件进展。

• 向公安机关查询：当事人可以直接向受理案件的公安机关查询案件进展情况。公安机关有义务根据规定，向当事人提供案件的受理、立案、侦查等阶段的进展信息。

• 向人民检察院申请监督：如果当事人认为公安机关在处理案件过程中存在不当行为，如应当立案而不立案、违法立案等，可以向人民检察院申请立案监督。人民检察院在受理申请后，将依法进行审查，并要求公安机关说明不立案或立案的理由。在此过程中，当事人可以间接了解到案件的进展情况。

三、实际操作建议

1. 书面查询：当事人可以撰写书面查询函，明确查询事项和理由，并附上相关证明材料，如身份证、报案回执等，然后提交给受理案件的公安机关或人民检察院。

2. 口头查询：在条件允许的情况下，当事人也可以直接前往公安机关或人民检察院的办案部门，进行口头查询。但建议事先准备好相关问题和材料，以便更高效地获取信息。

3. 利用信息化手段：随着信息化的发展，许多公安机关和人民检察院都提供了在线查询服务。当事人可以通过官方网站、手机APP等渠道，查询案件的进展情况。

综上所述，虽然直接的“案件进展询问函”并未在法律法规中明确提及，但当事人完全可以通过合法途径向公安机关或人民检察院查询案件进展情况。希望以上解答能够对您有所帮助。