核心前提：孩子乘坐出租车时未经允许私自带人，涉及出租车运营规则及可能的法律责任问题。

结论与分情况说明：

1. 若孩子为未成年人且无民事行为能力或限制民事行为能力：

   • 法律责任：通常情况下，未成年人因不具备完全民事行为能力，其私自带人的行为本身不直接导致法律上的处罚，但可能引发合同违约或违反出租车公司规定的问题。
   • 处理方式：出租车司机或公司可能会要求额外支付费用（若允许带人需补票），或拒绝继续提供服务。若因此造成损失（如超载导致的罚款），可能需由监护人承担相应责任。

2. 若孩子为成年人或具有完全民事行为能力：

   • 合同违约：出租车服务是双方合同关系，乘客未经司机同意私自带人，可能构成对合同条款的违反（如超载、影响司机收入等）。
   • 法律后果：
     • 民事责任：司机或出租车公司可要求乘客支付额外费用，或因违约造成的损失（如超载罚款、车辆损耗等）。
     • 行政处罚：若私自带人导致超载等违反交通法规的行为，可能面临交警部门的处罚（如罚款、扣分），但处罚对象通常是驾驶人（出租车司机），若司机未制止则可能共同担责。
     • 刑事责任：极少数情况下，若私自带人行为涉及非法营运（如拼车收费未许可），可能触犯《道路运输条例》，但需具体情节严重。

3. 特殊情形：

   • 紧急情况：如乘客因突发疾病需立即送医，私自带人可能被认定为“紧急避险”，但需事后向司机或公司说明并补交费用。
   • 司机同意：若司机明确允许带人，则不构成违约或违法，但需按约定支付费用。

建议：

• 无论孩子年龄如何，乘坐出租车时应遵守合同约定，未经司机同意不得私自带人。
• 若已发生私自带人行为，建议主动与司机或出租车公司沟通，协商解决费用或责任问题，避免纠纷升级。
• 若因此遭受行政处罚或面临民事索赔，可依据具体情节（如是否超载、司机是否知情等）进行抗辩或协商。

提示：法律问题需结合具体事实和证据分析，如有进一步疑问，可直接向我咨询。