行政机关证明其行政行为合法性的法律依据，主要散见于多部法律法规中，其中最为核心的是《中华人民共和国行政诉讼法》的相关规定。以下从不同角度进行详细分析：
一、行政机关证明合法性的基本法律依据
《中华人民共和国行政诉讼法》第三十四条：
- 条款内容：被告对作出的行政行为负有举证责任，应当提供作出该行政行为的证据和所依据的规范性文件。
- 法律解释：此条款明确规定了行政机关在行政诉讼中需要证明其行政行为的合法性，包括提供作出行政行为的证据和所依据的规范性文件。这是行政机关证明合法性的基本法律依据。
《中华人民共和国行政处罚法》等相关法律：
- 条款内容：虽然这些法律没有直接规定行政机关证明合法性的条款，但它们规定了行政机关作出行政处罚等行政行为时应当遵循的程序和条件，间接构成了行政机关证明其行政行为合法性的基础。
- 法律解释：行政机关在作出行政处罚等行政行为时，必须遵循法定程序，确保行政行为的合法性和合理性。在行政诉讼中，行政机关需要证明其行政行为符合这些法定程序和条件。
二、行政机关证明合法性的具体要求
证据充分性：
- 要求：行政机关提供的证据应当充分、确凿，能够证明其行政行为的合法性和合理性。
- 法律后果：如果行政机关提供的证据不足或存在瑕疵，可能导致其行政行为被撤销或确认违法。
规范性文件依据：
- 要求：行政机关在作出行政行为时，应当依据相关的规范性文件，如法律、法规、规章等。
- 法律后果：如果行政机关无法提供作出行政行为所依据的规范性文件，或者所依据的规范性文件不合法、无效，可能导致其行政行为被撤销或确认违法。
程序合法性：
- 要求：行政机关在作出行政行为时，必须遵循法定程序，如告知、听证、说明理由等。
- 法律后果：如果行政机关违反法定程序作出行政行为，即使其实体内容合法，也可能因程序违法而被撤销或确认违法。
三、行政机关证明合法性的实践应用
行政诉讼中的举证责任：
- 应用：在行政诉讼中，行政机关作为被告，需要承担举证责任，证明其行政行为的合法性。如果行政机关无法提供充分的证据或所依据的规范性文件，将承担败诉的风险。
行政复议中的合法性审查：
- 应用：在行政复议中，复议机关将对行政机关的行政行为进行合法性审查。行政机关需要提供充分的证据和所依据的规范性文件，以证明其行政行为的合法性。
行政执法中的合法性要求：
- 应用：在行政执法过程中，行政机关需要确保其行政行为的合法性和合理性。这包括遵循法定程序、提供充分的证据和所依据的规范性文件等。
建议：行政机关在作出行政行为时，应严格遵守法律法规，确保行政行为的合法性和合理性。同时，在行政诉讼或行政复议中，行政机关应积极提供充分的证据和所依据的规范性文件，以证明其行政行为的合法性。如果遇到复杂的法律问题或争议，可以直接向我咨询，我将提供专业的法律意见和帮助。