结论：当事人一般不能完全自主决定去哪个第三方伤残鉴定机构，但在一定范围内有选择权。具体情况如下：

1. 司法鉴定程序中的机构选择 在涉及诉讼的伤残鉴定中，通常由司法机关（如法院）委托具有相应资质的司法鉴定机构进行鉴定。根据《司法鉴定程序通则》第十一条规定，司法鉴定机构应当统一受理司法鉴定的委托，当事人不能自行指定鉴定机构。不过，在一些情况下，如果双方当事人协商一致，可以共同选定一家有资质的鉴定机构，法院一般会尊重双方的选择。

2. 非诉讼情况下的机构选择 如果是在非诉讼的情况下，例如当事人自行寻求伤残鉴定以获取赔偿依据等，当事人可以在符合资质要求的鉴定机构中进行选择。但需要注意的是，所选的鉴定机构必须具备相应的鉴定资质和业务范围，否则其出具的鉴定意见可能不被认可。例如，进行人体损伤程度鉴定，应选择具有法医临床鉴定资质的机构。

3. 特殊情况下的机构指定 在某些特殊情况下，如涉及重大、疑难、复杂的鉴定事项，或者当事人对初步选定的鉴定机构有异议且无法协商一致时，可能会由相关部门（如司法行政部门）指定合适的鉴定机构进行鉴定，以确保鉴定结果的公正性和权威性。