肇事逃逸者在关押期间犯精神病，是否会被判刑需分情况讨论，具体如下：

一、若经鉴定，肇事时处于精神病发作期且不能辨认或控制自己行为

1. 刑事责任：根据《刑法》及相关司法解释，精神病人在不能辨认或者不能控制自己行为的时候造成危害结果，经法定程序鉴定确认的，不负刑事责任。因此，在此情况下，肇事逃逸者不会被判刑。
2. 后续措施：虽然不负刑事责任，但应责令其家属或者监护人严加看管和医疗；在必要的时候，由政府强制医疗，以防止其再次危害社会。

二、若经鉴定，肇事时虽患有精神疾病但具有部分辨认或控制自己行为能力

1. 刑事责任：在此情况下，肇事逃逸者仍应承担相应的刑事责任，但可以从轻或者减轻处罚。具体判刑情况需根据其犯罪情节、社会危害程度等因素综合判断。
2. 量刑考量：法院在量刑时，会考虑其精神疾病对其行为的影响程度，以及其是否具有悔罪表现等因素，从而作出公正的判决。

三、民事责任与行政责任

1. 民事责任：无论肇事逃逸者是否负刑事责任，其本人或监护人通常都要对事故造成的损害承担赔偿责任。若精神病人有财产，先从本人财产中支付赔偿费用；不足部分，由监护人赔偿。
2. 行政责任：若有相应行政违法行为，且肇事逃逸者精神正常时，需承担行政责任；若其无责任能力，则不予行政处罚，但应责令监护人严加看管和治疗。

法律建议

1. 及时鉴定：对于肇事逃逸者是否患有精神病，应及时进行精神状态鉴定，以确定其是否具有刑事责任能力。
2. 全面担责：即使肇事逃逸者不负刑事责任，也不能免除其民事赔偿责任。其监护人需积极承担赔偿义务，以维护受害者的合法权益。
3. 法律程序：在处理此类案件时，应严格遵守法律程序，确保鉴定结论的公正性和准确性。同时，应关注肇事逃逸者的治疗情况，防止其再次危害社会。

举例说明：假设某肇事逃逸者在关押期间被诊断出患有精神病，且经鉴定在肇事时处于精神病发作期且不能辨认或控制自己行为。那么，根据法律规定，该肇事逃逸者不负刑事责任，但应责令其家属或监护人严加看管和医疗。若其家属或监护人无法履行看管和医疗责任，政府将采取强制医疗措施。

总结来看，肇事逃逸者在关押期间犯精神病是否会被判刑，需根据其肇事时的精神状态进行鉴定并判断。有问题可以直接向我咨询，我会结合具体情况为你提供更精准的法律建议。